Loi de réciprocité quadratique :-)

[Mohamed Taoufiq]

bonsoir :happy2:

je n'arrive pas à monter que y^2+z^2=(3-x^2)(x^2-2) n'admet pas de solution dans Q^3 à l'aide de la loi de réciprocité quadratique :S

Pouvez vous m'aider ?

merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Je pense avoir une solution, mais c'est pas totalement trivial...
Si on prend irréductible, et , (pas forcément irréductibles), l'équation
dans devient
dans (ou , c'est pareil ici)

Or, le carré de tout entier est congru à 0 ou 1 modulo 4 et, comme et ne peuvent pas être pairs tout les deux, on n'a que 3 cas possibles pour et modulo 4 :

Ce qui montre qu'un des deux entiers et est congru à 3 modulo 4.
La décomposition en nombre premier de cet entier contient donc un nombre premier congru à 3 modulo 4 qui apparait à une puissance impaire (preuve par l'absurde).
Ce nombre premier ne peut pas apparaitre dans la décomposition de l'autre entier, car, si divisait à la fois et , il diviserait la somme donc aussi ce qui est absurde vu qu'on est parti avec

Ce nombre premier (congru à 3 modulo 4) apparait donc à une puissance impaire dans donc aussi dans donc aussi dans .

Si on écrit et où (donc ), on a donc, de nouveau, le nombre premier apparait à une puissance impaire dans .

Cela signifie que c'est à dire que .
Or, comme , l'un (au moins) des deux est non nul modulo donc en fait les deux sont non nuls modulo et on a ce qui est absurde vu que est congru à 3 modulo 4 et que l'on sait que -1 n'est un carré modulo (impair) que lorsque est congru à 1 modulo 4.

P.S. Si tu connait le théorème de ??? qui dit qu'un entier n est somme de deux carrés ssi les nombres premier congrus à 3 modulo 4 apparaissent à une puissance paire dans la décomposition de n, tu peut nettement abréger la preuve...

[Zweig]

Si tu connait le théorème de ???

Lagrange :++:

[Ben314]

Ca, j'était sûr qu'y en aurait au moins un pour chercher.... :zen:
Sauf que ma propre recherche m'a conduit au nom :
"théorème de Fermat de Noël" (je déconne pas...)
du fait l'un des premier endroit où on trouve quasi complètement l'énoncé (avec des idées pour faire une preuve, mais pas la preuve elle même) est une missive de Pierre Fermat à Marin Mersenne datée du jour de Noël 1640.

En fait, la première trace qu'on a de l'énoncé complet est due à Albert Girard en 1634 (annotations sur la fin de la traduction commencée par Simon Stevin des livres de Diophante)

A noter aussi que :
"Le théorème sur les sommes de carrés figure aussi dans les fameuses observations que Fermat a écrit en marge de l'édition de Bachet des Arithmétiques de Diophante"...
Comme quoi, dans ces fameuse marge, ben y'avais pas mal de truc !!!

A noter enfin que Fermat finit par écrire qu'il a une "jolie preuve" du résultat (en utilisant la méthode dite de "descente infinie") mais que
"Aucune preuve rédigée par lui de ce théorème n'a subsisté"...

Enfin, il semblerait que la première preuve "répertoriée" du résultat soit dues à Leonhard Euler en colaboration avec Christian Goldbach...


Conclusion : le nom de "théorème de Lagrange" me... surprend...