Loi du couple (X,X)

[Gurvan44]

Bonjour, je souhaite déterminer la densité jointe du couple où est une v.a. réelle à densité par rapport à Lebesgue .

Je sais bien faire lorsque je cherche pour avec et Y indépendant de X, mais là X n'étant pas indépendant de lui-même je bloque un peu.

Mon problème initial est un peu plus général mais j'ai l'impression que le point clé est celui expliqué ci dessus.

Voici le problème général si vous souhaitez : https://photos.app.goo.gl/47p7x2KjqtNdUcdKA

Merci beaucoup pour votre attention, en espérant que qq aura envie de m'aider

[Ben314]

Salut,
Si tu espère avoir un truc du style , pour une certaine fonction alors c'est bien évidement foutu d'avance vu que le couple ne prend ses valeurs que sur un ensemble de mesure de Lebesgue nul (à savoir la bissectrice ).

[Gurvan44]

Mhh oui en effet, mais du coup par exemple pour la fonction ci-dessous, est-il possible d'exprimer la densité de par rapport à Lebesgue sur



On note
où

[Ben314]

Ben non, c'est exactement la même chose : les valeurs prises par c'est le segment qui a une mesure de Lebesgue (de dimension 2) nulle donc tu ne va pas exprimer ta loi à l'aide de cette mesure.

Par contre, si tu muni le segment d'une mesure (de dimension 1) induite par ta bijection de [0,1] sur ce segment, là, oui, ta loi s'exprime bien évidement à l'aide de cette mesure, mais ça n'apporte rien vu que c'est exactement la même chose que la définition qu'on te donne . . .

[Gurvan44]

Ok, du coup si je dois calculer , j'ai l'intuition que la réponse sera :
où est la mesure de Lebesgue sur .

Mais, si c'est bien ça, comment le justifier un peu mieux ? genre comment démontrer un peu ça ?

[Ben314]

je ne pense pas qu'il soit sain d'écrire sans mettre un truc du style pour bien préciser qu'il s'agit de la mesure de Lesbegue 1-dimensionnelle sur le segment [a,b] du plan.
Et sinon, à mon avis, l’expression de loin la plus simple de c'est celle directement donnée par l'énoncé, à savoir où là, désigne bien la "vraie" mesure de Lebesgue sur .

[Gurvan44]

Yes merci Ben, ça m''a fait de bons rappels ! Bonne journée.