Loi de densité marginale et couple gaussien

[tlandru]

Bonjour à tous, j'ai actuellement cette question qui me pose quelques problèmes.

Voici l'énoncé de l'exercice :






Ci-joint ma réponse pour la loi de Y et de X :





Pouvez vous me dire si les deux lois de densité marginales sont exactes ?


Car pour prouver que le couple (X,Y) est gaussien je dois trouver que fX(x) * fY(y) = fXY(x,y) ce qui n'est pas le cas ici...

Existe t'il d'autre manière de prouver qu'un couple est gaussien ?

Merci d'avance


Si vous voyez la moindre erreur n'hésitez pas !!

[simplet]

Car pour prouver que le couple (X,Y) est gaussien je dois trouver que fX(x) * fY(y) = fXY(x,y) ce qui n'est pas le cas ici...
!

c'est une condition suffisante mais pas necessaire.
Et si tu montres que f se met sous la forme d'une densité d'un vecteur gaussien, ca marche non??, puisque la densité caractérise la loi..
Tu en déduit alors la matrice de covariance.


Pour la derniere question ( j'utiliserai d'abors la linéarité, évident puis) le fais que E(Z/T) est la projection de Z sur la droite T, ie il existe a telle que E(Z/T)=a.T. Il faut alors trouver a, par exemple a partir de l'équation donnée par
E[(E(Z/T)-Z). T]=0

[nuage]

Salut,
Je ne vois rien des questions. Sinon des lignes vides.
Est ce un bug chez moi ou plus général ?
A+

[BQss]

c'est une condition suffisante mais pas necessaire.
Et si tu montres que f se met sous la forme d'une densité d'un vecteur gaussien, ca marche non?? Tu en déduit alors la matrice de covariance.


Pour la derniere question ( j'utiliserai d'abors la linéarité, évident puis) le fais que E(Z/T) est la projection de Z sur la droite T, ie il existe a telle que E(Z/T)=a.T. Il faut alors trouver a, par exemple a partir de l'équation donnée par E ((E(Z/T)-Z). T)=0

Mais qu'est c'que tu racontes, il n'y a rien a faire sur les probas conditionnel la, ni de projection a faire.

Il suffit de voir que le vecteur proposé est la transformation lineaire du vecteur (X,Y) qui lui meme est gaussien (on le montre ala question precedente).
Sa loi est donc: N(ME;MVM^(t)) avec E l'esperance de (X,Y) et V la matrice de covariance de (X;Y).
on a M =
(2 1
1 -1)

[simplet]

oops excuse je n'avais pas bien lu la question ;-)
Moi aussi je travaillais dessus et j'avais fait un exercice quasi identique

En tout cas ce que j'ai dit sur le fait que (X,Y) soit gaussien est juste non??

dsl encore..

[BQss]

Salut,
Je ne vois rien des questions. Sinon des lignes vides.
Est ce un bug chez moi ou plus général ?
A+

Ca bug chez toi oui .

[nuage]

@BQss
merci je vais essayer d'y remédier.

[BQss]

Pour tlandru.


C'est normal que tu ne trouves pas fx*fy=f(x,y), la variables gaussiennes x et y ne sont pas independantes. Il n'y a pas besoin que les coordonnées du vecteurs soit independantes pour que le vecteur soit gaussien.

Regarde ta forme quadratique( dans l'exposant de l'exponentiel) celle du vecteur (x,y) il y a du xy . Donc la matrice de covariance associée n'a pas que les elements diagonaux non nul. Il y a donc des convariances non nul dedans, x et y ne sont pas independant.

Par contre un vecteur est gaussien ssi toute combinaison lineaire de ses coordonnées est une variable gaussienne, l'independance de ses coordonnée n'est qu'un cas particulier ou la matrice correspondante d'ailleurs est diagonale.

Dans ce cas la tu retrouves le fait que ta forme quadratique n'admet que des termes en xi^2 et que du coup on a bien fx*fy=f(x,y).



C'est necessaire que chaque coordonnées soit un vecteur gaussien par contre, ce n'est pas necessaire qu'il soit independants et ce n'est pas le cas ici.
Tu ne peux donc pas te servir de la propriété que x et y soit independants pour montrer que que (x,y) est gaussien.


PS: Tes dlois marginales sont justes.

[BQss]

La matrice de ton vecteur (X,Y) c'est V=
(2 1
1 1)

1 et 2 c'est les variances respectives, et 1 c'est les covariances, 1 signifie d'ailleurs que x et y sont positivement correlés. (j'avais mis l'opposé). Il y a une dependance lineaire entre x et y.

ta densité plus haut s'ecrit:

1/(2Pi) exp( -1/2[(x,y)^(t)V^(-1)(x,y)] )

Pour montrer qu'il est gaussien juste avant, il faut que tu montres que sa fonction caracteristique s'ecrit psi(a)=exp(ia^(t)E-1/2a^(t)Va))
deja la moyenne E est nulle donc ca va tres vite...

PS: un vecteur est gaussien ssi sa fonction caracteristique s'ecrit de la forme ci dessus, c'est cette definition que tu dois employer ici vu qu'on a pas l'independance.

[BQss]

oops excuse je n'avais pas bien lu la question
Moi aussi je travaillais dessus et j'avais fait un exercice quasi identique

En tout cas ce que j'ai dit sur le fait que (X,Y) soit gaussien est juste non??

dsl encore..

C'est pas grave on fait tous des erreurs.
Oui je suis d'accord avec toi pour ce que tu as dit en ce qui concerne le vecteur gaussien..

C'est suffisant de reconnaitre la densité de la loi normale non degeneré de matrice de covariance V ci dessus, pas besoin de calculer sa fonction caracteristique, tu as parfaitement raison.


Si f=f' presque partout pour la mesure dx, les mesures fdx et f'dx sont egales et on en deduit que le vecteur (x,y) de densité celle ci dessus est gaussien car sa loi est celle de la densité d'un vecteur gaussien non degenéré de variance:
V=
(2 1
1 1 ) et de moyenne E = (0;0)



a tlandru oubli donc la fonction caracteristique, tu n'as qu'a identifier V^(-1)et les autres termes dans l'expression de la densité.

tu sais que la densité d'un vecteur gaussien de degré p s'ecrit:
f(t) = 1/[(2Pi)^p/2*det(V)^(-1/2)] exp(-1/2(t-E)^(t)V^(-1)(t-E)) avec t appatient a R^p.

det(V)=1

V^(-1)=
(1 -1
-1 2 )

p=2

E=(0;0)


Donc on reconnait la densité du vecteur (x,y) de loi N(0;V)

[tlandru]

Merci pour toute ces réponses , je vais imprimer et lire tout ca :)

Vous confirmez donc que les lois marginales sont bonnes ? j'espere ne pas avoir mis une ptite coquille ^^

[BQss]

Merci pour toute ces réponses , je vais imprimer et lire tout ca

Vous confirmez donc que les lois marginales sont bonnes ? j'espere ne pas avoir mis une ptite coquille ^^

Parfaitement juste.
Elle suivent les lois normale N(0;2) et N(0;1). On retrouve les variance de valeur 1 et 2 dans la diagonale de la matrice et dans l'expression de la densité de la loi jointe, si tu veux verifier c'est un bon moyen. Pareille pour l'esperance elle intervient(en intervenant pas) dans la densité de la loi jointe. Donc outre le fait que je n'ai pas vu de faute dans les calculs, tes resultat correspondent aux données...

[tlandru]

Je vais paraitre bête mais la question est " prouver que le couple (X,Y) est gaussien" et non pas prouver que le vecteur est gaussien...

J'ai cette définition dans mon cours :

Si les deux composantes du vecteur (X,Y) sont réelles et gaussiennes et indépendantes, alors ( X, Y ) est un couple gaussien.

Voila pourquoi je cherchai a ce qu'elle soit indépendante

[BQss]

Je vais paraitre bête mais la question est " prouver que le couple (X,Y) est gaussien" et non pas prouver que le vecteur est gaussien...

J'ai cette définition dans mon cours :

Si les deux composantes du vecteur (X,Y) sont réelles et gaussiennes et indépendantes, alors ( X, Y ) est un couple gaussien.

Voila pourquoi je cherchai a ce qu'elle soit indépendante

Le couple (x,y) et le vecteur (x,y) c'est exactement la meme chose.

"Si les deux composantes du vecteur (X,Y) sont réelles et gaussiennes et indépendantes, alors ( X, Y ) est un couple gaussien."
C'est un cas particulier de vecteur gaussien, celui ou ses deux composantes sont independantes. La matrice de covariance est d'ailleurs alors diagonale et dans l'expression de la densité tu n'as que des termes en xi^2, ici tu vois par exemple que tu as du xy, ca vient du fait que dans la matrice de covariance, les Cov(x,y) ne sont pas nuls car x et y ne sont pas independants.

Donc ici x et y ne sont evidemment pas independant d'ou la difference par ailleurs entre fx*fy et f(x,y).


Pour montrer que ton vecteur est gaussien(que ton couple si tu veux), il faut donc passer par d'autre moyen. On ne peu utiliser le fait que le vecteur est composé de deux variables gaussiennes independantes.

Ce qu'on fait ici, c'est qu'on identifie la densité d'un couple gaussien, en reperant ses elements caracteristiques, matrice de covariance etc.
Une fois qu'on a identifié la densité de la loi qui est celle d'un vecteur gaussien non degeneré( ca veut dire que la matrice est strictement positive) on peut conclure que (x,y) est gaussien de loi ayant pour densité celle identifié. Car la densité de la loi caracterise entierement la nature des variables aleatoires.


Pour montrer que le couple etait gaussien on a donc montré ici que sa densité etait la loi d'un couple gaussien.

[tlandru]

ok ok c'est ce que j'avais fait mais je pensais que cela n'était pas assez.

Je te remercis pour toute ses réponses, dès que j'ai rédigé la réponse a la question 2 je t'envois ca !