Exercice sur la loi d'un couple

[bsangoku]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice et j'aimerais bien savoir comment ça marche.

Voici la consigne :

Soient X, Y, Z trois v.a réelles indépendantes, les v.a X et Y suivent la même densité uniforme sur ]0, 1[ tandis que la v.a Z est positive et suit la densité p(z)=(1/2)*z²*exp(-z)*indicatrice(z>0)
Soient U et V les variables aléatoires définies par :
U=XZ ; V=YZ

Et il faut calculer la densité du couple (U, V)

Bon je suis d'accord que c'est la méthode de la fonction que l'on doit appliqué mais là où ça me gène c'est que comment on va exprimer x, y et z en fonction de u et de v...
Est ce que mon idée de départ est bonne et pouvez vous me dépanner svp?

Merci d'avance et Joyeux Noël!!!!!!!!!

[girdav]

Bonjour,
je crois qu'il vaut mieux commencer par calculer une densité du triplet . De là, tu pourra facilement déduire du densité du couple .

[bsangoku]

Ok je viens de calculer la loi du couple (XZ,YZ,Z) c'est
f(u,v,t)=1/2*e^-t*Indicatrice(u)*Indicatrice(v)*Indicatrice(t)

avec Indicatrice(u)=[0,t]
Indicatrice(v)=[0,t]
Indicatrice(t)=R+

Comment passer de (XY,YZ,Z) à (XY,YZ)? SVP...

[girdav]

Ça fonctionne comme un calcul de loi marginale.

[bsangoku]

Est -ce normal que je trouve

f(u,v)=1/2*Indicatrice(u)*Indicatrice(v)

avec Indicatrice(u)=[0,t]
Indicatrice(v)=[0,t]

?

[girdav]

Non, le devrait disparaitre puisque l'on intègre par rapport à cette variable. est non nul dès que est à la fois plus grand que et . Donc il faut intégrer de jusqu'à .

[bsangoku]

Ok je trouve :

f(u,v)=1/2*e^(-max(u,v))*Indicatrice(u)*Indicatrice(v)

avec Indicatrice(u)=[0,1]
Indicatrice(v)=[0,1]

Mais comment alors trouver la densité de U? (le max me perturbe un peu...)

[girdav]

Là tu as la densité du couple (modulo le fait qu'il faille prendre l'indicatrice de et de sur ) et c'est précisément ce qui est demandé. Pour te rassurer tu peux vérifier que l'intégrale sur de cette fonction vaut bien .

[bsangoku]

En fait, je sais que je viens de trouver la loi du couple demandé et je vous en remercie : sans vous j'y serais jamais arrivé..
Mais je me demandais si on devait calculer la densité de U comment dois je m'y procéder svp?

[girdav]

Tu intègres la densité du couple par rapport à à fixé.