Logarithme

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit une fonction continue sur et . Les primitives de sur sont les fonctions :

avec

Je ne comprends pas la remarque suivante :

Cela justifie a posteriori la définition du logarithme comme l'unique primitive s'annulant en 1 de :

Pourquoi on prend seulement ? Comment on sait dans l'exemple du logarithme que ?

Bref, je n'ai pas compris la remarque.

[hdci]

Quand on prend l'intégrale d'une fonction de a à x, cette intégrale est une primitive de f qui s'annulle pour .
Donc si on ne considère que la fonction inverse sur , comme elle est continue, l'intégrale pour de 1 à x est bien définie et c'est une primitive de la fonction inverse qui s'annule pour ; sa dérivée étant la fonction inverse qui est strictement positive, cette primitive est strictement croissante, donc elle ne s'annule qu'une seule fois.

C'est donc bien LA primitive sur de la fonction inverse qui s'annule en 1.

Enfin, la fonction inverse n'est pas intégrable au voisinage de 0. Il s'en suit que son intégrale de 1 à x pour n'existe pas et c'est pour cela qu'on reste sur

Rien n'interdit maintenant de définir LA primitive de la fonction inverse qui s'annule pour , mais alors on est sur , et il ne sera pas difficile de montrer que c'est

[mehdi-128]

D'accord merci par contre je n'ai pas compris le passage : " cette primitive est strictement croissante, donc elle ne s'annule qu'une seule fois."

Et en quoi montrer que la primitive s'annule qu'une seule fois montre l'unicité de la primitive ?

[noobey]

Les primitives diffèrent d'une constante C. Le choix d'annuler la primitive en 1 impose une condition sur C qui rend cette constante unique.

[mehdi-128]

Ah d'accord merci.

En effet si elle s'annulait 2 fois, on aurait 2 valeurs pour la constante C.

[mathelot]

Rien n'interdit maintenant de définir LA primitive de la fonction inverse qui s'annule pour , mais alors on est sur , et il ne sera pas difficile de montrer que c'est

??

[hdci]

Euh oui il y a une faute de signe, c'est évidemment...