Logarithme Népérien

par **Charisma** » 10 Juil 2009, 18:08

Bonjour, je vous prévient par avance, je n'ai pas de eu cours sur cet exercice, seulement un exemple avec un autre exercice corrigé.
Donc il y peut-être des trucs stupides que j'aurais tout simplement mal compris (notamment mon x qui tend vers 1+, je ne sais pas d'où sort ce 1+). Merci d'avance de votre éventuelle aide, voici ce que j'ai fait :

Soit f la fonction définie par
f(x) = 2 + (x-2) Ln(x-2)/x
f(2)=2
1) Déterminez l'ensemble de définition de f.
2) f est elle continue en 2 ? (justifiez)
3) Etudiez la dérivabilité de f en 2.
4) Que peut on en déduire par rapport à C(f), la courbe représentative de la fonction f ?

1) f est définie en 2 et pour x =/= 2 et pour (x-2)/x > 0.
D'où (f) = ]-¤¤ ; 0[ U [2 ; +¤¤[

2) Pour (x -> 1+) : lim f(x) = lim 2 + (x-2) Ln (x-2)/x = lim 2 + (x-2) Ln 2+ (x-2) - (x-2) Lnx = 2 = f(2)
2 + (x-2) l'emporte sur son logarithme en 1.
f est donc continue à droite en 2.

3) Étudions la dérivabilité de f à droite de 2 :
Pour (x -> 1+) : lim (2 + (x-2) Ln (x-2)) / 2 + (x-2) = lim Ln (x-2)/x = +¤¤

f est donc dérivable à droite de 2.

4) C(f) admet une demi-tangente vertical à droite de (2,0).

par **Maks** » 10 Juil 2009, 18:18

Bonjour !
Peux-tu me donner l'ensemble de définition de la fonction logarithme s'il te plaît ? (

)

par **Ericovitchi** » 10 Juil 2009, 18:23

oui ça a l'air à peu près juste.
mais dans le domaine de définition il ne faut pas prendre ]-¤¤ ; 0[ car le log est négatif dans cet intervalle.

Après je n'ai très bien compris pourquoi tu parles plusieurs fois du point x=1, tu voulais sans doute dire "f est donc dérivable à droite de 2".
Sinon pour le 3, je n'ai pas bien compris ta démonstration. Tu sembles démontrer que f est continue en 2. Mais pour la dérivabilité, je n'ai pas vu de démonstration ? Tu n'as pas dérivé la fonction d'ailleurs et regardé si au point 2 elle étais dérivable ou pas ?
Après tu dis que la demi tangente est verticale donc tu sembles avoir calculé la limite de la dérivé et trouvé l'infini mais comment as-tu fais sans calculer la dérivée ? Tu n'as pas confondu limite de la fonction et limite de la dérivée par hasard ?

par **Charisma** » 10 Juil 2009, 18:43

Maks a écrit:Bonjour !
Peux-tu me donner l'ensemble de définition de la fonction logarithme s'il te plaît ? ()

Non. L'énoncé et mes réponses en dessous contiennent absolument tout ce que je suis capable de faire sur ce genre d'exercice...
Comme je l'ai dit je n'ai pas de cours, je n'ai fait qu'adapter les réponses d'un autre exercice du même type à cet exercice là en essayant de comprendre comment on passait de l'énoncé aux réponses.

tu voulais sans doute dire "f est donc dérivable à droite de 2".

Oui c'est une erreur de ma part, je corrige.

Tu n'as pas confondu limite de la fonction et limite de la dérivée par hasard ?

Encore faudrait-il que je connaissent précisément la différence entre les deux... J'ai vraiment aucune connaissance sur ce type d'exo, c'est pour ça que j'ai créé ce sujet.
De plus je n'ai rien trouvé de bien convainquant sur google.

par **Maks** » 10 Juil 2009, 18:45

Si tu ne connais pas la fonction logarithme, arrête l'exercice, et attend de la voir en cours. Sinon, tu fais n'importe quoi, sans comprendre. Désolé.

par **Charisma** » 10 Juil 2009, 20:18

Tu n'a pas a être désolé : je vais vraiment n'importe quoi sans comprendre.

Si je n'attends pas de voir le cours, c'est parce que je suis en cours par correspondance, qu'on a pas ce cours précis, et que le prof de math censé nous répondre sur notre forum de cours par correspondance n'a jamais répondu.

En gros j'ai deux solutions : trouver le cours (en cherchant sur Google par exemple) et demander de l'aide sur les forums de maths. Et c'est ce que je suis en train de faire.

Sur un autre forum, quelqu'un m'a expliqué certains point en détail, je reviendrais écrire mes nouvelles réponses quand j'aurais compris certaines choses en plus.

par **Maks** » 10 Juil 2009, 20:39

Ok, je comprends ton désarroi mais je n'ai aucune envie de faire un cours sur la fonction logarithme. Je préfère répondre à des questions précises. Je pense que tu pourras trouver plein de cours tout faits sur le net. Encore une fois, si tu as une question précise (et que tu penses avoir compris le cours), n'hésite pas à revenir.

Bon courage.

par **Ericovitchi** » 10 Juil 2009, 21:01

Il ne faut pas décourager les bonnes volontés non plus.

Le logarithme népérien est l'inverse de la fonction exponentielle. Autrement dit

et

C'est un fonction définie sur

(0 exclu)

Elle est croissante.
La dérivée de ln (x) vaut 1/x la dérivée de ln (u(x) vaut u'(x)/u(x)
Ln(1) = 0 , Ln(e) = 1

x l'emporte sur ln(x) donc

par exemple ou encore

Voilà tu sais à peu près tout sur cette fonction.

par **Maks** » 10 Juil 2009, 21:04

J'aurais rajouté un p'ti graphe et precisé que la fonction n'est pas définie en 0. Mais sinon, c'est pas mal, je n'avais vraiment pas le courage de le faire, désolé.

par **Zavonen** » 11 Juil 2009, 09:16

Le logarithme népérien est l'inverse de la fonction exponentielle. Autrement dit e^{lnx}=x et ln (e^x)=x

C'est bien sûr parfaitement exact.
A un niveau supérieur c'est certainement la meilleure façon de faire. Partir de exp(z) pour z complexe comme somme de la série et en déduire tout.
Mais à un niveau élémentaire (découverte de la fonction), est-ce approprié ?
Il y a un pré-requis important.
Définition de la constante e (somme de la série ???)
définition de a^x pour a réel et x réel.
Propriété de l'exponentielle strictement croissante donc inversible etc...
Cela nécessite un pré-requis considérable.
Je préfère, définir ln comme la primitive de 1/x sur ]0,+infin[ qui s'annule en 1. Il y a aussi un pré-requis (existence de primitives pour les fonctions continues) mais à mon avis beaucoup moins important.

par **JohN!** » 11 Juil 2009, 10:18

Pour le graphe d'une fonction exponentielle de base supérieure à 1, on a :

Le graphe d'une fonction exponentielle de base située entre 0 et 1 non compris :

Il est vrai que l'on n'a pas défini le nombre e. Il s'agit de la :

e = lim n --> + oo (1 + 1/n)^n

2,718.

e est la base du logarithme népérien. Le logarithme n'est rien d'autre que la réciproque à la fonction exponentielle (qui est elle-même une fonction injective, à l'inverse de x² par exemple.)

Voici le graphe du ln (x) et de expe(x) :

La fonction logarithme népérien est donc définie sur [0, +oo[, ce qui correspond à l'ensemble image de la fonction exponentielle en base e. (réciprocité).

Grâce à ces graphes, tu peux relever les propriétés de chaque fonction.

En espérant avoir pu t'aider, tu trouveras pas mal d'informations sur le net

(cf reymarlioz.free.fr/IMG/pdf/coursTES-expo-a-2.pdf)
Cordialement,
JohN

par **Zavonen** » 11 Juil 2009, 10:53

Il est vrai que l'on n'a pas défini le nombre e. Il s'agit de la : e = lim n --> + oo (1 + 1/n)^n 2,718.

Ce n'est pas à mon avis le pire écueil. Tu donnes une définition acceptable de e (encore faut-il démontrer la cv de la suite, mais passons).
Mais comment définis tu simplement exp(x), puissance réelle non rationnelle d'un nombre?
Il n'y a pas d'autre recours que de commencer par définir l'exponentielle pour les rationnels, et puis d'appliquer une gros théorème de prolongement utilisant la densité de Q dans R.
Donc, faire rigoureux à un niveau élémentaire c'est dur.
A vrai dire on peut définir le log sans même faire appel à la notion de primitive.
ln(n)= lim n(x^1/n -1)
et démontrer à partir de là toutes ses propriétés algébriques. Mais ce n'est pas à mon avis la meilleure façon, bien que très économe de moyens car on n'a aucune 'visualisation' de la fonction.

par **Charisma** » 11 Juil 2009, 15:42

Merci beaucoup, ça m'aide à comprendre, mais peut-être que quelque chose de plus concret m'aiderait de façon plus... concrète. Mais encore une fois merci de m'avoir aidé jusque là !

Quand on à :

f(2)=2

1) Déterminez l'ensemble de définition de f.

Concrètement que faut il répondre ?

par **JohN!** » 11 Juil 2009, 16:11

Ici, tu dois faire attention au domaine de définition de ln(x).
Avec le graphe que je t'ai mis au dessus, tu verras que le domaine d'un ln(x) est = ]0; + oo[

Il te faut donc vérifier : (x-2)/x > 0. Il s'agit là des Conditions d'existence.

Voilà

par **Socki** » 11 Juil 2009, 16:11

Bonjour,

c'est pourtant dit, il faut que tu recherches les valeurs interdites afin de déterminer l'ensemble de définition.
Je ne vois pas ce qui te bloque. En plus tu as toutes les données.

par **Charisma** » 11 Juil 2009, 17:21

Je te montre le seul exercice avec corrigé que j'ai via mes cours par correspondance :

Je croit comprendre que tu me dit que le domaine d'un ln(x) est = ]0; + oo[

Alors pourquoi dans mon exercice corrigé D(f)=]-oo ; 0[ U [1 ; +oo[ ?
D(f) n'est pas le domaine d'un ln(x) ?

par **JohN!** » 11 Juil 2009, 17:49

C'est normal, c'est l'argument du logarithme qui doit appartenir au domaine que j'ai énoncé.

Tu dois donc regarder x-1 / x > 0 et alors tu obtiens le bon domaine pour F(x).
Regarde :

x-1 s'annule en 1 et x s'annule en 0. On trace le tableau de signe :

________0____1____
x-1 ---------- 0 +++
x ---- 0 +++++++
___________________
f(x) +++ E --- 0 +++

Le domaine est donc vrai pour : ]- oo, 0[ U ]1, + oo[

En fait, il te suffit de poser les conditions d'existence, et après tu définis le domaine !

par **Charisma** » 11 Juil 2009, 18:33

Il te faut donc vérifier : (x-2)/x > 0. Il s'agit là des Conditions d'existence.

Il s'agit donc des conditions d'existence, il ne me reste plus qu'a définit le domaine alors ?

Ensuite pour faire comme dans ton exemple : x-2 s'annule en 2 et x s'annule en 0.
Et donc le domaine serait donc vrai pour Le domaine est donc vrai pour : ]- oo, 0[ U ]2, + oo[ ?

Ce n'est pas ça ? (j'espère que c'est ça, sinon je n'aurais toujours rien compris depuis le début...)

par **JohN!** » 11 Juil 2009, 18:36

Voilà c'est ça !

par **Charisma** » 11 Juil 2009, 20:17

Bon ça avance un peu alors. Normalement on m'aide pour les questions 3 et 4, donc je ne devrais plus vous embêter que pour la question 2.

2) f est elle continue en 2 ? (justifiez)

Il me semble qu'il faut étudier la limite à gauche et à droite et si elles sont égales, alors f est continue en 2. Et la limite à gauche est 2- et à droite c'est 2+.
C'est ça ?

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