Limite d'une fonction logarithme

[mariejo]

En relisant mon cours de maths, je n'ai pas compris un point du cours.

On devait faire l'étude de la fonction suivante: f(x)= x+1-ln(x+1)

Ce que je n'ai pas compris est la limite quand x tend vers + infini

La correction disait que lim f(x) qd x tend vers + infini était +infini c'est justement cela que je n'ai pas compris .

Je pensais de l'on devait lever indétermination puisque c'est une forme indéterminé
lim x+1=+inf
lim ln(x+1)=+inf
Or entre les deux fonction on a le signe -
du coups ça nous donne lim f(x) =+inf-inf

Ma question : j'aimerais savoir pour la limite de cette fonction est +inf

Mais cela ne vas pas dans le sens de la correction
merci d'avance pour vos réponses

[mathelot]

bonjour,
si x est un entier , ln(x), à un facteur près, est le nombre de chiffres de x.
Ce fait est illustré par les deux limites: et

[zygomatique]

salut



...

[Ben314]

Salut,
Sinon, a mon sens, non seulement il est plus qu'utile de connaitre "par cœur" les deux résultats cités par mathelot et de savoir ce qu'ils impliquent au sens intuitif, c'est à dire que la fonction logarithme "tend lentement" vers +oo, mais ça peut aussi ne pas être con de savoir que le résultat provient simplement d'une dérivation et qu'on peut à la rigueur (*) adapter la preuve au cas qui nous intéresse :
Ta fonction définie par f(x)= x+1-ln(x+1) est dérivable de dérivée f'(x)=1-1/(x+1) qui tend vers 1 lorsque x->oo donc à partir d'un certain x, on a f'(x)>1/2 et, en intégrant, on en déduit que f(x)>x/2+Cst donc que f(x) tend vers l'infini en +oo.

(*) Sauf que, comme c'est pas mal plus long que d'utiliser le résultat connu ln(x)/x->+oo lorsque x->+oo, c'est pas forcément bien malin de procéder de la sorte...

[zygomatique]

c'est surtout que de pouvoir raisonner ainsi est difficile pour beaucoup ... surtout quand ils ne connaissent pas (encore et même si) l'intégration

pour beaucoup il est tellement plus rassurant de "faire ln x / x" puisque c'est une formule du cours ...

[laetidom]

Bonsoir @ tous,

bonjour,
si x est un entier , ln(x), à un facteur près, est le nombre de chiffres de x. ===> est-ce possible d'éclairer ma lanterne, ça m'intéresse de savoir ce qui se cache dans ton post mais je ne saisis pas vraiment, merci d'avance ! : ex : x = 3 (entier) et ln(3) = 1,098612289.... je ne remarque pas ce lien ? . . .
Ce fait est illustré par les deux limites: et
===> je ne vois pas le rapport avec ces 2 limites du cours, désolé, encore merci pour me faire comprendre !

et de savoir ce qu'ils impliquent au sens intuitif, c'est à dire que la fonction logarithme "tend lentement" vers +oo, mais ça peut aussi ne pas être con de savoir que le résultat provient simplement d'une dérivation et qu'on peut à la rigueur (*) adapter la preuve au cas qui nous intéresse

: je sens bien que vous mettez sur le doigt sur quelque chose que je sens important pour moi et qui pour l'instant à vous lire je ne visualise pas bien la chose . . . merci pour toute info/dessin complémentaire !

[Ben314]

Les fonctions logarithme, il y a des tas de façon de les présenter, mais une des plus simple, c'est de dire que (log en base de ), ça signifie que .
Le log décimal des chimistes (et autres) correspond à et dans cette base là (i.e. pour le log décimal), effectivement, le log, c'est simplement "le nombre de chiffre" dans le sens que log(1000)=3, log(10000)=4, etc...
De même, en informatique, pour parler de complexité, on utilise très souvent des log qui sont évidement des log en base 2 vu que le log en base 2 d'un entier N, c'est le nombre de chiffres en base 2, c'est à dire le nombre de bits qu'il faut pour écrire N dans la mémoire de l'ordi.
Par contre, le log des matheux, il est en base e=2,718... et comme on risque pas d'écrire les entiers en base e, ça ne correspond pas directement au "nombre de chiffre" dans une base donnée (ou alors il faut dire que c'est une espèce de moyenne entre le nombre de chiffre de l'écriture en base 2 et de celle en base 3).
Et les matheux, il ont choisi cette base là plutôt qu'une autre car toutes les fonctions logarithmes ont une dérivée de la forme x->Cst/x et que ce qui intéressait les matheux, c'est pas d'avoir une base simple, mais d'avoir une dérivée simple, la plus simple de toute étant évidement x->1/x et pour ce faire, ben y'a pas le choix, faut prendre la base e.
Enfin, le choix de la base n'a pas vraiment d'importance concernant le comportement de la fonction logarithme vu que, si et que alors mais il suffit de considérer la constante (indépendante de ) telle que pour avoir et donc pour tout réel on aura : les différentes fonction log ne diffèrent que d'une constante multiplicative donc ont le "même comportement" (lorsque x->0 ou x->+oo).
Bref, dans la pratique, pour tout réel on a : le logarithme népérien de x, c'est approximativement égal à 2,3 fois le nombre de chiffres de x et ça signifie que "ça monte très lentement" : si tu multiplie x par 10, le log (népérien) ne fait que augmenter d'un petit 2,3.
Si tu veut un réel de log (népérien) environ égal à 100, il faut prendre un réel ayant environ 45 chiffres donc... énorme et c'est éventuellement à comparer avec la fonction x->racine(x) dont la courbe donne aussi l'impression de "s'aplatir" (i.e. de tendre lentement vers l'infini) mais où, pour avoir racine(x)=100, il suffit de prendre x=10000 (5 chiffres)

[laetidom]

Merci Ben !, je vais étudier tout ce que tu as écrit, merci !

[mariejo]

Je vous remercie pour vos réponses
Mais le truc qui me dérange :
C'est que certes on a bien lnx+1/x+1 tend vers +inf. Mais avant on a le signe - du coup ça devrait pas tendre en -inf.


J'ai une seconde question qui est liée à la première
Sachant que le domain de def est ]-1;+inf[

Pour trouver la limite qd x tend vers -1 il faut faire comment
Puisque j'ai l'habitude de calculer les limites de façon à remplacer uniquement x par le chiffre demandé où doit tendre x soit dans ce cas -1 mais je doute que se soit cela ?

[mariejo]

Au niveau de la correction j'ai écrit que lim f(x) qd x tend vers -1=+inf

[Pythales]

Vers quoi tend ln x lorsque x tend vers 0 ?

[mariejo]

Lnx qd x tend vers 0 c'est -inf