Logarithme Népérien

par **JohN!** » 12 Juil 2009, 00:55

La fonction, suivant ton domaine n'est pas définie à gauche de 2.

Tu n'auras donc pas une fonction continue vu que la lim x--> 2 ne sera pas égale à f(2), n'existant pas. (La définition de continuité est que la lim x-->a = f(a) )

Ce n'est pas le cas ici, d'après moi elle n'est donc pas continue en 2. (si d'autres pouvaient confirmer, cela me réconforterait dans mon idée car au vue de l'énoncé, j'ai l'impression de faire une erreur quelque part.)

par **Charisma** » 12 Juil 2009, 14:38

A priori vu qu'effectivement elle n'est définit en 2-, elle ne peut pas être continu en 2 (sauf si on considère qu'il suffit qu'elle soit continue à droite de 2 pour qu'elle soit continue en 2, mais je ne pense pas que ce soit le cas).

Ensuite pour la dérivabilité en 2, comment faut il faire ?
Appliquer cette formule ?
lim (x -> 2) (f(x) - f(2)) / x - 2

Et donc si ça ne part pas vers de l'infini, j'en conclus que f est dérivable en 2 ?

par **xyz1975** » 12 Juil 2009, 14:56

Désolé j'ai vu l'exo avec solution, ou est ton pb?

par **ffpower** » 12 Juil 2009, 14:56

f est définie en 2.C est écrit dans l énoncé:f(2)=2..

par **xyz1975** » 12 Juil 2009, 15:03

La fonction au premier message est définie en deux, pour justifier la continuité en 2 il faut passer par la définition qui consiste à calculer une limite, c'est bien la limite de f(x) lorsque x se rapproche de 2.
Remarque : dans le calcul de limite x tend vers 2 cela veut dire que x NE TOUCHE JAMAIS le 2, par conséquent f(x) sera remplacée par l'expression donnée c'est bien 2 + (x-2) Ln(x-2)/x .
Il s'agit donc de calculer cette limite.
Est ce que c'est clair?

par **Charisma** » 12 Juil 2009, 15:07

Désolé j'ai vu l'exo avec solution, ou est ton pb?

Tu parle de l'exercice que j'ai mis ? Si oui ce n'est pas le même (juste le même genre) que celui qui me pose problème !

f est définie en 2.C est écrit dans l énoncé:f(2)=2..

Tu répond à quoi en fait ?
Au fait que j'ai dit que f n'était pas définie en 2- ?

Je suis désolé, mais étant en éco-gestion (on fait très peu de math), j'ai vraiment du mal à vous suivre tous !

par **xyz1975** » 12 Juil 2009, 15:09

La limite de

lorsque x tend vers 2 est nulle il suffit de décomposer le logarithme. Donc la limite en total est 2=f(2) notre fonction est continue.

En réalité la continuité ici est à droite de 2.

par **xyz1975** » 12 Juil 2009, 15:13

Ok je vais résumé tout ce que tu as vu.

La fonction f est définie sur ]-00;0[U[2;+00[
Je suis d'accord, f n'est pas définie en 2-; la continuité se fera en fait à droite de 2, mais dans tous les cas on doit calculer une limite, et bein la limite est égale à 2=f(2) donc la fonction est continue.
Pour la dérivabilité il faut calculer la limite du rapport.

Est ce que c'est clair?

par **Charisma** » 12 Juil 2009, 16:57

Oui c'est (enfin) clair pour moi, merci beaucoup !

Pour la dérivabilité, j'ai fait : ( f(x) - f(2) ) / (x - 2) = Ln ( (x - 2)/x )
Et lim (x -> 2) Ln ( (x - 2)/x ) = +oo

Donc f n'est pas dérivable en 2.

C'est bon ? (normalement oui, mais si vous me confirmez c'est encore mieux)

par **sky-mars** » 12 Juil 2009, 17:44

j'aurai dit

et en

donc f n'est pas dérivable en 2

par **xyz1975** » 12 Juil 2009, 18:07

sky-mars a écrit:j'aurai dit

et en
donc f n'est pas dérivable en 2

Je signale que cette décomposition est vraie car x prend des valeurs supérieures à 2.

Pour la limite on n'a pas besoin en fait de décomposer car l'argument de ln tend vers o+ lorsque x se rapproche de 2+ donc la limite est -00.

Remarquons que l'interprétation graphique de ce calcul est :
[ La dérivabilité ou la non dérivabilité (lorsque la limite existe) correspond tout le temps à l'existence d(es) tangentes)], j'explique :
Premier cas :
Si la limite du rapport existe et elle est finie, graphiquement cela veut dire que la courbe possède une tangente.

Deuxième cas :
Si la limite du rapport est infinie cela signifie graphiquement que la courbe possède une demi-tangente verticale.
(c'est valable pour les limites à droite et à gauche).

Troisième cas :
Si la limite à gauche est différente de celle de droite et elles sont finies toutes les deux cela signifie graphiquement que la courbe possède deux demi-tangentes.

Y en a d'autres cas mais voilà l'essentiel.

par **Charisma** » 12 Juil 2009, 20:49

Merci pour les précisions et merci à tous en général !
Du coup, pour voir si j'ai bien compris je vais faire un autre exercice du même type donc si vous pouviez simplement me dire si c'est juste ou non ce serait vraiment sympa.

Soit f la fonction définie par
f(x) = 2 + xLn(x/(x+1))
f(0)=2
1) Déterminez l'ensemble de définition de f.
2) f est elle continue en 0 ? (justifiez)
3) Etudiez la dérivabilité de f en 0.
4) Que peut on en déduire par rapport à C(f), la courbe représentative de la fonction f ?

1) f est définie en 0 et x/(x+1) > 0
x s'annule en 0 et x+1 s'annule en -1
L'ensemble de définition de f est donc ]-oo ; -1[ U [0 ; +oo[

2) Si x>0 on peut écrire f(x) = 2 + xLn(x) - xLn(x+1)
0- n'est pas défini, donc il n'est pas possible que f soit continue en 0 à gauche.
Pour lim (x -> 0+) f(x) = 2
Donc f est bien continue en 0 à droite.

3) ( f(x) - f(0) ) / (x - 0) = Ln(x/(x+1)) = Ln(x) - Ln(x+1)
Et lim (x -> 0) Ln(x) = -oo
f n'est donc pas dérivable en 2.

4) La courbe admet une tangente au point de coordonnées (0,2).

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