Lien limites suites / fonctions

[Pseuda]

Bonjour,

Soit une fonction réelle définie sur . Je me pose la question suivante : est-il vrai que la fonction a une limite finie en si et seulement si la suite a une limite finie en ?

Dans le sens : a une limite finie en => la suite a une limite finie en , cela semble évident (je l'ai démontré).

Dans le sens : a une limite finie en => a une limite finie en , c'est faux, par exemple la fonction .

Si je suppose maintenant que est monotone (même non continue), c'est vrai aussi (je l'ai démontré aussi). Donc en fait ma question est la suivante : existe-t-il un théorème qui le dit, ou quelque chose d'approchant ?

(Je me pose cette question par rapport au lien série convergente - intégrale convergente.)

[Ben314]

Salut,

Si je suppose maintenant que est monotone (même non continue), c'est vrai aussi (je l'ai démontré aussi). Donc en fait ma question est la suivante : existe-t-il un théorème qui le dit, ou quelque chose d'approchant ?

Je comprend pas trop la question : si tu l'a démontré (sans te gourrer), ben c'est que c'est un théorème, non ?

Ou alors, c'est que tu es pas sûr de ta preuve ? Dans ce cas, je confirme : si une fonction F:[a,+oo[->R est monotone et qu'il existe une suite Un de réels tendant vers l'infini telle que F(Un) soit convergente alors F(x) admet la même limite lorsque x->oo (c'est en fait le th. des gendarmes).

Troisième option : il y a un de nous deux qui a une définition pas terrible de ce qu'est un "théorème" (pour moi, c'est uniquement une proposition qu'on peut démontrer et c'est tout...)

[Pseuda]

Merci. C'est affirmé brutalement dans un livre sans démonstration (concernant une intégrale d'une fonction positive, de borne supérieure un entier, puis un réel), donc je me demandais s'il existait un théorème utilisé sans le dire.

[Pseuda]

Salut,

Si je suppose maintenant que est monotone (même non continue), c'est vrai aussi (je l'ai démontré aussi). Donc en fait ma question est la suivante : existe-t-il un théorème qui le dit, ou quelque chose d'approchant ?

Je comprend pas trop la question : si tu l'a démontré (sans te gourrer), ben c'est que c'est un théorème, non ?

Ou alors, c'est que tu es pas sûr de ta preuve ? Dans ce cas, je confirme : si une fonction F:[a,+oo[->R est monotone et qu'il existe une suite Un de réels tendant vers l'infini telle que F(Un) soit convergente alors F(x) admet la même limite lorsque x->oo (c'est en fait le th. des gendarmes).

Troisième option : il y a un de nous deux qui a une définition pas terrible de ce qu'est un "théorème" (pour moi, c'est uniquement une proposition qu'on peut démontrer et c'est tout...)

Bonjour Ben314,

Je suis bien sûre de ma preuve, mais la démo du livre est tellement succincte que cela sonnait comme une évidence. Pour moi, un théorème c'est un peu plus qu'une proposition, certains ont même un nom... Bref.

Par contre ce qui me gêne avec l'utilisation du théorème des gendarmes, c'est que je ne le connais que dans le cadre suites-suites ou fonctions-fonctions, et là on est dans un cadre suites-fonctions. D'où la redémonstration. De plus, le théorème des gendarmes n'utilise pas le fait que les suites ou les fonctions sont monotones.

[Ben314]

Concernant le lien limites de suites / limites de fonction, le truc à démontrer une bonne fois pour toute, c'est que si si E et F sont des espaces métriques, que f:E->F, que Xo est dans E et Yo dans F alors on a équivalence entre :
(1) f(X) tend vers Yo lorsque X tend vers Xo.
(2) Quelque soit la suite (Un) de E convergent vers Xo la suite f(Un) de F converge vers Yo.

Et bien sûr, dans R, ça marche aussi avec des limites infinies (il suffit de considérer l'espace métrique Ru{-oo,+oo})

Donc là, si tu as une fonction monotone de [a,+oo[ dans R, pour montrer que f(x) tend vers L (fini ou pas) lorsque x tend vers l'infini, il suffit de montrer que, quelque soit la suite (Un) de [a,+oo[ qui tend vers +oo, on a systématiquement f(Un) qui tend vers L.
Et bien sûr, si au départ tu as comme hypothèse qu'il existe une suite (Vm) de [a,+oo[ qui tend vers +oo, et telle que f(Vm)tend vers L, tu va encadrer ta suite (quelconque) (Un) par des termes de ta suite connue Vm et tu en déduira bien, grâce à la monotonie de f et au Th. des gendarmes, que f(Un) tend aussi vers L.

P.S. : Je le redit : pour moi, un théorème, c'est un truc démontrable, c'est tout. Après, que ce soit "important" ou pas, ça me semble en général un peu subjectif, mais par exemple le théorème çi dessus qui donne l'équivalence entre (1) et (2), ça me semble un truc "pas mal important" (mais par contre je pense pas qu'il ait de nom, ou à la limite "caractérisation séquentielle d'une limite" ou un truc du même style...)

[Pseuda]

Merci Ben314 ! Je crois comprendre. Cette équivalence entre limites de suites et limites de fonctions s'appelle en effet caractérisation séquentielle de la limite. Le problème ici c'est qu'on a qu'une seule suite (Un=n), donc du coup on a besoin que la fonction soit monotone pour que ça marche, mais je ne comprends pas très bien comment. -->Je vais me l'imprimer et essayer de comprendre.