Les rationnels

[Archytas]

Bonsoir, je voudrais savoir si l'ensemble des rationnels est discret ou continu, j'aurais tendance à dire qu'il est continu parce que dense dans R et discret car dénombrable et finalement certains sites me disent qu'il est continu d'autres qu'il n'est ni l'un ni l'autre, qui croire ? L'hémisphère gauche ? Le droit ou un des deux sites ?
Merci de m'apporter vos lumières :happy3: !

[Le_chat]

Salut. Il n'est certainement pas discret, au moins au sens de la topologie usuelle sur R.

En gros, être discret, ça veut dire que chaque point de l'ensemble est isolé, que tu peux trouver pour chaque point un voisinage dans lequel le point est le seul élément de l'ensemble.

Par exemple N est discret, vu que tu peux trouver autour de chaque entier un intervalle où il n'y a que cet entier.

En revanche pour Q ça va pas marcher, 0 est dans Q, mais essayez de trouver un intervalle contenant comme seul rationnel 0... Justement la densité fait que ça n'est pas possible.

Concernant le coté "continu", ça peut avoir pas mal de sens différents je crois, je ne pense pas qu'il y ait de définition générale d'"ensemble continu". Ce qu'on peut dire: il n'a pas la "puissance du continu", vu qu'il est dénombrable. On peut aussi voir la continuité comme de la connexité, un ensemble est "continu" lorsqu'il est d'un seul tenant, auquel cas Q n'est pas continu, il a plein de trous.

[Archytas]

Salut. Il n'est certainement pas discret, au moins au sens de la topologie usuelle sur R.

En gros, être discret, ça veut dire que chaque point de l'ensemble est isolé, que tu peux trouver pour chaque point un voisinage dans lequel le point est le seul élément de l'ensemble.

Par exemple N est discret, vu que tu peux trouver autour de chaque entier un intervalle où il n'y a que cet entier.

En revanche pour Q ça va pas marcher, 0 est dans Q, mais essayez de trouver un intervalle contenant comme seul rationnel 0... Justement la densité fait que ça n'est pas possible.

Concernant le coté "continu", ça peut avoir pas mal de sens différents je crois, je ne pense pas qu'il y ait de définition générale d'"ensemble continu". Ce qu'on peut dire: il n'a pas la "puissance du continu", vu qu'il est dénombrable. On peut aussi voir la continuité comme de la connexité, un ensemble est "continu" lorsqu'il est d'un seul tenant, auquel cas Q n'est pas continu, il a plein de trous.

Cela voudrait dire qu'il n'est ni l'un ni l'autre ?!!
Je ne croyais pas ça possible :hum: ! J'ai peur de me faire fusiller si je demande de plus amples précisions à ma prof de maths mais je tenterai bien ...
Merci pour ta réponse :we:

[adrien69]

C'est pas discret les gars. Aucun point n'est isolé.

Mais est-ce que ça veut dire qu'il est continu ? :lol2:

[Archytas]

C'est pas discret les gars. Aucun point n'est isolé.

Mais est-ce que ça veut dire qu'il est continu ? :lol2:

Bin justement un ensemble n'est pas OU discret OU continu ?!? C'est ce qui me semblait, d'un autre coté j'ai trouvé aucune définition précise d'un terme ou de l'autre !

[Le_chat]

Discret on a une définition précise, c'est que chaque point de l'ensemble est isolé. Pour continu, c'est une autre paire de manche, je crois pas qu'il y ait de vraie définition, alors si tu veux tu peux dire que chaque ensemble qui n'est pas discret est continu, mais ça voudrait juste dire que continu= admet un point d'accumulation, typiquement l'ensemble {1/n, n dans N}U{0} serait continu, un peu étrange.

[Kikoo <3 Bieber]

Quand tu parles d'accumulation, tu parles d'adhérence ?

[Archytas]

Discret on a une définition précise, c'est que chaque point de l'ensemble est continu. Pour continu, c'est une autre paire de manche, je crois pas qu'il y ait de vraie définition, alors si tu veux tu peux dire que chaque ensemble qui n'est pas discret est continu, mais ça voudrait juste dire que continu= admet un point d'accumulation, typiquement l'ensemble {1/n, n dans N}U{0} serait continu, un peu étrange.

Ah d'acc, je voyais plutot ça comme ou bien qu'entre chaque élément on peut en trouver une infinité du même ou ensemble ou alors, plus simplement, un ensemble est continu s'il n'est pas discret ! C'est quoi que tu appelle un point d'accumulation ? Genre que pour tout E>0 on peu trouver un élément de ton ensemble tel que (ici) 0+E>x, x appartenant à ton ensemble ?
modif : Donc Z U {1/n, n dans N} serait un ensemble continu ?

[adrien69]

à la limite pourquoi ne pas dire qu'un ensemble est continu si tous ses points sont des points d'accumulation ?

[Archytas]

à la limite pourquoi ne pas dire qu'un ensemble est continu si tous ses points sont des points d'accumulation ?

ça m'a l'air déjà plus logique !

[Kikoo <3 Bieber]

Pourquoi ZU(1/N) avec 1/N={1/n, n dans N} ? (j'invente une notation c'est trooo stylé)

Déjà que fais-tu quand n=0 ?
Puis pourquoi ne pas plutôt prendre 1/Z (même def étendue aux relatifs) ?
Finalement, cet ensemble n'est, je pense, pas continu. En effet, si Z est discret, alors 1/Z le sera aussi. Et rien ne te permettra de dire que leur union est continue !

PS : j'avais pas vu la modif. J'écris lentement sur mon portable !!
Et pour ton nouvel ensemble, qu'est-ce que tu en penses ?
exemple : 1/n est strict decroissante sur N*, et entre 1/2 et 1/3, ya pas mal de nombres !

[adrien69]

Quand tu parles d'accumulation, tu parles d'adhérence ?

Pas vraiment non. L'adhérence est une propriété relative. Tu regardes l'adhérence d'un ensemble dans un autre. Un point d'accumulation est intrinsèque à un ensemble.

Un point a est d'accumulation si dans tout voisinage de ce point on peut trouver un point différent de a.


Donc si on définit la continuité d'un espace comme je l'ai dit, les rationnels est à la fois un ensemble discret et continu. Eheheh ! :bad2:

[Archytas]

Pourquoi ZU(1/N) avec 1/N={1/n, n dans N} ? (j'invente une notation c'est trooo stylé)

Déjà que fais-tu quand n=0 ?
Puis pourquoi ne pas plutôt prendre 1/Z (même def étendue aux relatifs) ?
Finalement, cet ensemble n'est, je pense, pas continu. En effet, si Z est discret, alors 1/Z le sera aussi. Et rien ne te permettra de dire que leur union est aussi discrète !

La définition est donc bancale, je ne m'en remet qu'à ce qu'on me dit ! Quelqun n'aurait pas un petit Robert ou un gros Larousse qui clôrait le débat par une définition rigoureuse ?

[Archytas]

Pas vraiment non. L'adhérence est une propriété relative. Tu regardes l'adhérence d'un ensemble dans un autre. Un point d'accumulation est intrinsèque à un ensemble.

Un point a est d'accumulation si dans tout voisinage de ce point on peut trouver un point différent de a.


Donc si on définit la continuité d'un espace comme je l'ai dit, les rationnels est à la fois un ensemble discret et continu. Eheheh ! :bad2:

Je ne remet pas en question ton immense science mais une définition de notre cher (pluri)schizophrène de Bourbaki me rassurerait bien plus :ptdr: !

[Kikoo <3 Bieber]

Okaayy pour la différence adhérence/accumulation Adrien ;)

[Kikoo <3 Bieber]

Je ne remet pas en question ton immense science mais une définition de notre cher (pluri)schizophrène de Bourbaki me rassurerait bien plus :ptdr: !

hahaha :p

La célébrité de l'école Bourbaki en fait-elle un argument d'autorité au sein de la noosphère mathématique ?

[Le_chat]

En fait dans R, si on prend un ensemble E, le réel x est un point d'accumulation de E si il y a un point de E dans chaque intervalle ouvert contenant x, auquel on enlève x.

Cela revient à dire que x est dans l'adhérence de E\{x}.

Ainsi, un point d'accumulation est dans l’adhérence de E. Par contre un point de l'adhérence n'est pas forcement un point d'accumulation, par exemple {0} n'a pas de point d'accumulation.

[Archytas]

hahaha :p

La célébrité de l'école Bourbaki en fait-elle un argument d'autorité au sein de la noosphère mathématique ?

Absolument quand une institution de mathématiciens renommés vaut mieux que des "pour moi c'est comme ça ... " cela dit j'avoue que c'est un peu plus clair qu'au début où c'était vraiment le flou total !

[Le_chat]

L'adhérence est une propriété relative. Tu regardes l'adhérence d'un ensemble dans un autre. Un point d'accumulation est intrinsèque à un ensemble.

Pour parler de point d'accumulation il faut quand même une topologie (sinon on a pas de voisinage), et son espace topologique, donc c'est aussi relatif à l'ensemble qu'on a choisi, en quelque sortes.

Par exemple, si on considère R muni de la topologie usuelle, {1/n, n entier} a 0 comme point d'accumulation, mais si on prend ]0,1] muni de la topologie induite par la topologie usuelle sur R, 0 ne va pas être un point d'accumulation vu qu'il n'est pas dans l'ensemble topologique de base.

(En tout cas sur R muni de la topologie usuelle, Q n'est certainement pas discret!)

[adrien69]

Oui mais je me suis dit que parler de topologie générale là ça aurait été violent :)

Et j'ai dit discret ? Ah oui, j'ai dit discret. Oups !