Les nombres rationnels

[Kaori]

Je suis nulle en maths et je ne comprends rien à un exercices sur les nombres rationnels. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?

1. Le produit de deux rationnels décimaux est-il toujours un rationnel décimal ? Le quotient de deux rationnels décimaux non nuls est-il toujours un rationnel décimal ?
J'aurais tendance à dire oui mais je ne sais pas pourquoi et je sais encore moins le démontrer.

2. La somme de deux nombres rationnels non décimaux est-elle toujours un rationnel non décimal ?
Je dirais que c'est faux et j'utiliserais un contre-exemple pour le démontrer.

3. Le produit de deux rationnels non décimaux est-il toujours un rationnel non décimal ?
Je dirais comme ma réponse précédente.

4. Quel est le 1215e chiffre de l'écriture décimale du nombre rationnel 72/13 ?
Je ne vois pas du tout comment procéder.

5. Trois points A, B et C sont tels que AC = 12,345 (période de 345) ; AB = 74/5 et BC = 2,45 (période de 45), ces trois distances étant exprimées avec la même unité de longueur. Les trois points A, B, C sont-ils alignés ?
Là non plus, je ne vois pas du tout comment procéder.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclaircir tout cela.
Merci beaucoup.

[SimonB]

1. Le produit de deux rationnels décimaux est-il toujours un rationnel décimal ? Le quotient de deux rationnels décimaux non nuls est-il toujours un rationnel décimal ?
J'aurais tendance à dire oui mais je ne sais pas pourquoi et je sais encore moins le démontrer.

La réponse à la première question est "oui", la réponse à la seconde est "non".
Pour la première question, il faut savoir comment s'écrire un rationnel décimal sous sa forme générale : c'est , avec a et n deux entiers (les entiers sont inclus dans cette définition parce que ). Ensuite, on prend deux rationnels décimaux sous cette forme (disons et ), on fait le produit, et on essaye de le mettre sous la forme générale donnée ci-dessus.

Pour la seconde : je vais t'indiquer un cas particulier : cherche un quotient de deux entiers (donc en particulier rationnels décimaux) qui ne soit pas un rationnel décimal.

2. La somme de deux nombres rationnels non décimaux est-elle toujours un rationnel non décimal ?
Je dirais que c'est faux et j'utiliserais un contre-exemple pour le démontrer.

3. Le produit de deux rationnels non décimaux est-il toujours un rationnel non décimal ?
Je dirais comme ma réponse précédente.

Ben dans ce cas-là, trouve-les, tes contre-exemples
(Mais je doute que tu en trouves pour tes deux questions...)

4. Quel est le 1215e chiffre de l'écriture décimale du nombre rationnel 72/13 ?
Je ne vois pas du tout comment procéder.

Ecris le début de la division de 72 par 13, et essaye de voir s'il n'y a pas quelque chose de périodique là-dedans (ou plus exactement, cherche jusqu'à ce que tu vois quelque chose de périodique).

5. Trois points A, B et C sont tels que AC = 12,345 (période de 345) ; AB = 74/5 et BC = 2,45 (période de 45), ces trois distances étant exprimées avec la même unité de longueur. Les trois points A, B, C sont-ils alignés ?
Là non plus, je ne vois pas du tout comment procéder.

Fais un dessin : si A, B, et C sont alignés, il y a forcément un point au milieu des deux autres. Que peux-tu en dire ?