Les chinois sur IR[X]

[legeniedesalpages]

Bonsoir, j'ai un problème avec cet exercice:

Existe-t'il un polynôme vérifiant ?
Si oui, quels sont les "" possibles?

Je pensais reprendre la technique du théorème des restes chinois sur (qui est donnée sur l'article de wikipedia: [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_restes_chinois#Syst.C3.A8me_de_congruences_d.27entiers]http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_restes_chinois#Syst.C3.A8me_de_congruences_d.27entiers[/url] )

on a . D'après Bezout, il existe tels que
[CENTER].[/CENTER]

Je calcule l'algorithme d'Euclide étendu:


donc



d'où

Donc j'ai un trouvé un tel couple:

.

Je pose:

,


je trouve




Je réduis modulo , et je trouve qui devrait normalement être solution,
mais on a pas .

Je ne vois pas où le raisonnement ne tient plus la route :hein:

Merci pour vos indications.

[yos]

Pas le courage de lire ton truc à cette heure ci, mais moi j'écrirais
et je chercherais a et b pour que P-X soit multiple de .

[ThSQ]

Pas le courage de tout lire non plus mais ça doit être comme dans .
Une fois que tu as trouvé une solution les autres sont .

[yos]

Je trouve avec la méthode précédente.

[yos]

Le coef de .

[legeniedesalpages]

Bonjour, et d'abord merci pour vos réponses.

J'ai essayé avec la méthode de Yos et je trouve le même résultat,
.

Donc les "" qui vérifient ces conditions sans restriction sur le degré sont exactement les éléments de
.

C'est bien ça?

Ensuite pour ce qui est de la méthode des restes chinois, oui effectivement je me suis trompé sur le coeff de , je vais la reprendre.

[legeniedesalpages]

Donc avec , l'unique possible est -.

[legeniedesalpages]

Ok bon j'avais fait une autre erreur dans le calcul de -.
Donc c'est bon je trouve la même chose.

Juste j'aurais voulu avoir une confirmation sur l'affirmation suivante:

Donc les "" qui vérifient ces conditions sans restriction sur le degré sont exactement les éléments de

.

THsQ tu as dit la même chose me semble-t'il avec au lieu de , je voudrais juste savoir pourquoi? :hein:

Et donc est bien le seul "" possible quand on impose ?