Kerf et imf

[rougedemoiselle]

Bonsoir,

Soit f une application linéaire f : R^3-->R^3, (x, y, z)-->(y-x, 2z-y, -z)
On me demande de déterminer l'image et le noyau de f.


J'ai donc trouvé pour le noyau kerf = {0} car x=y=z=0
Puis pour Imf par le théorème de rang (dim E = dimImf + dimKerf )
On a donc l'image de f est {(-1 0 0) (1 -1 0) (0 2 -1)}

Est ce que mes résultats sont corrects ?

Merci beaucoup !

[Aspx]

Le théorème du rang donne dimE=dimImf mais Imf est inclus dans E donc Imf=E tout simplement. :lol4:

[rougedemoiselle]

Le théorème du rang donne dimE=dimImf mais Imf est inclus dans E donc Imf=E tout simplement. :lol4:

On a donc Imf = {(x,y,z) appartient à R^3, u=(-x,O,O), v=(y,-y,0), w=(0,2y,-y)}
C'est bien ça ?

[kazeriahm]

On a donc Imf = {(x,y,z) appartient à R^3, u=(-x,O,O), v=(y,-y,0), w=(0,2y,-y)}
C'est bien ça ?

pourquoi u,v,w ????

ici Im f = E = R^3 = {(x,y,z) appartenant à R^3}

[rougedemoiselle]

pourquoi u,v,w ????

ici Im f = E = R^3 = {(x,y,z) appartenant à R^3}

Donc c'est ça ?
R^3, (x, y, z)-->(y-x, 2z-y, -z)

[xyz1975]

Imf est un sous espace de dimension 3 de IR^3 donc il est égal à IR^3, ce dérnier est engendré par (par exemple) e1(1;0;0), e2(0;1;0) et e3(0;0;1).

On a donc Imf = {(x,y,z) appartient à R^3, u=(-x,O,O), v=(y,-y,0), w=(0,2y,-y)}
C'est bien ça ?

Vous voulez écrire :
Imf={f(x;y;z) x,y,z dans IR }
={(y-x, 2z-y, -z) x,y,z dans IR }
={x(-1, 0, 0)+y(1,-1, 0)+z(0,2,-1) x,y,z dans IR }
Cela veut dire que Imf est engendré par u=(-1, 0, 0), v=(1,-1, 0) et w=(0,2,-1)
Comme on sait déja qu'il est de dimension 3 alors cette famille est une base.

[rougedemoiselle]

Imf est un sous espace de dimension 3 de IR^3 donc il est égal à IR^3, ce dérnier est engendré par (par exemple) e1(1;0;0), e2(0;1;0) et e3(0;0;1).

Vous voulez écrire :
Imf={f(x;y;z) x,y,z dans IR }
={(y-x, 2z-y, -z) x,y,z dans IR }
={x(-1, 0, 0)+y(1,-1, 0)+z(0,2,-1) x,y,z dans IR }
Cela veut dire que Imf est engendré par u=(-1, 0, 0), v=(1,-1, 0) et w=(0,2,-1)
Comme on sait déja qu'il est de dimension 3 alors cette famille est une base.

Donc les vecteurs u;w;z sont l'image de G c'est ça ?
Désolée je ne comprends pas tout ! Habituellement j'arrive à le déterminer mais la je bug !

[xyz1975]

u, v et w dans mon message sont une base de Imf.

[rougedemoiselle]

u, v et w dans mon message sont une base de Imf.

il faut donc résoudre le système : y-x=a
2z-y=b
-z=c