Im et ker

[fahr451]

bonjour

je n'ai pas tout lu mais il me semble que personne n'a simplement dit que

f-aid et f - b id COMMUTENT TOUJOURS

(f-aid)°(f-bid) = f°f +f°(-bid) +(-aid)°f +(-aid)°(-bid) = f°f -bf -af +abid
l 'expression est symétrique en a et b
donc le même résultat pour (f-bid)°(f-aid)

ce qui implique que si l'une des deux composées est nulle l 'autre aussi

inutile de passer par des images ou noyaux.

[Fanfan]

Une question pour fahr451 pourquoi :

f°(-bid)=-bf ?

de plus je dois montrer que Ker(f-aid)+ker(f-bid) sont 2 ss-ev de E.

Pour commencer je montre que Ker(f-aid)+ker(f-bid) C E, et j'ai un souci de vocabulaire, puis-je dire que

Ker(f-aid)+ker(f-bid) C E car c'est la différence de noyaux d'endomorphisme de E moins a ou b fois l'application identique de E. Cette phrase est correcte ?

[fahr451]

pour tout x

f°(-bid) (x) = f (-bid(x) )= f ( -bx) = -b f (x) car f linéaire


et le résultat

pour la somme des deux noyaux

tout élément x de la somme s 'écrit x = y + z

avec y et z ds le noyau rexpectif

or chaque noyau est inclus ds E dc y et sont ds E et E étant stable par addition x est ds E

[Fanfan]

merci. Je te posais la question pour l'inclusion, mais ce que tu viens d'écrire n'est-il pas valable pour l'égalité ( je n'ai pas à montrer que E C Ker(f-aid)+ker(f-bid) ) ?

[fahr451]

l 'autre inclusion E c

reste à prouver
prendre un vecteur x qq ds E et arriver à l 'écrire

x= y +z avec y ds ker et z ds ker

en fait

on a la relation évidente

[1/(b-a) ] (f - aid) - [1/(b-a)](f-bid) = id

on l 'applique à x
on a x = y+z avec y = [1/(b-a)](f-aid)(x) qui est clairement dans
ker(f-bid) idem pour z

[Fanfan]

ok, j'obtient grâce à cette relation le preuve que E est inclus dans la somme ! :we: merci !

[Fanfan]

je dois maintenant montrer que ker n ker = {OE} (définition)

cependant je ne sais à quoi correspond OE, est ce 0 ?

[Fanfan]

je dois maintenant montrer que ker n ker = {OE} (définition)

cependant je ne sais à quoi correspond OE, est ce 0 ?

[fahr451]

oui en effet

[Fanfan]

Pour montrer que ker(f-aid) n ker(f-bid)=0, j'ai fait ceci :

On a montré que tout vecteur de E est la somme d'un vecteur de ker(f-aid) et d'un vecteur de ker(f-bid).
Soit x appartenant à ker(f-aid) n ker(f-bid), on peut écrire : x=x+0 ( x appartient à ker(f-aid), 0 appartient ker(f-bid) ) et x=0+x ( x appartient à ker(f-bid), 0 appartient ker(f-aid) ).
Du fait de l'unicité de la décomposition, on peut conclure que x=0, donc

ker(f-aid) n ker(f-bid)=0

Est-ce correct ?

[fahr451]

tu n as pas montré l unicité, uniquement l existence
prends un x ds l intersection

f(x) = ax = bx et comme a différent de b x = 0

[Fanfan]

merci pour ton aide, par contre je ne comprend pas qu'est-ce f(x), et si c'est la fonction f, pourquoi donne-t-elle ax ou bx ? (je suis :--: )

[fahr451]

f est la fonction

évaluée en x elle vaut f(x)


id est la fonction

évaluée en x elle vaut x

(f-aid) (x) = f(x) -aid(x) = f(x) -ax

[Fanfan]

merci bcp !