Im et ker

[Fanfan]

bonjour,
je sougaiterai votre avis sur ce travail, il est à mon avis trop simpliste :

Soit E un R-espace vectoriel, et f un endomorphisme de E.

et (f-a*idE)°(f-b*idE)=õ

1) je dois montrer que Im(f-b*idE) c Ker(f-a*idE).

Voilà ce que j'ai fait :

(f-a*idE)[(f-b*idE)(x)]=õ or (f-b*idE)(x) est l'image de (f-b*idE),

mais c'est aussi un élément du noyau de (f-a*idE) car c'est éagal à õ.

J'en ai conclut que Im(f-b*idE) c Ker(f-a*idE)


2) je dois prouver que (f-b*idE)°(f-a*idE)=õ

on a (f-b*idE)[(f-a*idE)(x)], avec (f-a*idE)(x) un élément de l'image de (f-b*idE), or on a montrer que Im(f-b*idE) c Ker(f-a*idE),

d'où (f-b*idE)°(f-a*idE)=õ


Est-ce correct ?

[bauzau]

Im(f-aId) n'est pas la partie imaginaire de f-aId mais l'image de la fonction:

x|-> (f-a*Id)(x)

[Fanfan]

Est ce une erreur de vocabulaire où mon raisonnement en est donc faux ?

[bauzau]

õ (ou 0) est la fonction nulle: c'est à dire la fonction x|->0 pour tout x appartient à E:

autrement dit: (f-a)°(f-b)(x)=0 quelque soit x de E
=> quelque soit x : l'image de (f-b) = Im(f-b)={(f-b)(x) / x appartient à E}
est dans le noyau de f-a par definition du noyau

en effet: quelque soit x de E, on pose [(f-b)(x)]=y et dans ce cas, (f-a)(y)=0
or ker(f-a)={x de E tel que (f-a)(x)=0} donc Im(f-b) est bien dans le noyau de f-a

[bauzau]

Est ce une erreur de vocabulaire où mon raisonnement en est donc faux ?

les deux sont faux

[Fanfan]

donc a part mon erreur de langue, ce n'était pas si faux :we:


Est ce que la 2eme question a été bien traité ?

[bauzau]

1) je dois montrer que Im(f-a*idE) c Ker(f-b*idE).

en fait ici je croit que tu t'es trompé en recopiant, non?

ce n'est pas plutot: Im(f-b*idE) c Ker(f-a*idE) ?

[Fanfan]

exact, je corrige

[bauzau]

donc en fait dans la 2eme question on te demande de montrer l'inverse:

c'est à dire que Im(f-a) C ker(f-b) (*)

et cela montre donc que (f-b)°(f-a)=0 (**)


(*)=>(**)
en effet y appartient à Im(f-a) => il existe x tq (f-a)(x)=y
=> or (f-b)°[(f-a)(x)]=0 quelque soit x (par *) d'où (f-b)(y)=0 ou encore y appartient à ker(f-b)

[Fanfan]

eh bien en fait on me demande de prouver (**) et d' en déduire (*)

[bauzau]

donc en fait dans la 2eme question on te demande de montrer l'inverse:

c'est à dire que Im(f-a) C ker(f-b) (*)

et cela montre donc que (f-b)°(f-a)=0 (**)


(*)<=>(**)
en effet y appartient à Im(f-a) <=> il existe x tq (f-a)(x)=y
<=> (f-b)°(f-a)(x)=(f-b)°[(f-a)(x)]=(f-b)(y) quelque soit x
Or par (*) y appartient aussi à ker(f-b) it (f-b)(y)=0

d'ou quelque soit x de E: (f-b)(f-a)(x)=0


(correction: il y a en fait equivalence donc pour la suite c'est bon)

[bauzau]

tu n'as pas oublier des information: par exple que dim(E)

[Fanfan]

merci bcp je n'ai pas vu DIM mais j'ai dit que f est un endomorphisme, n'est ce pas suffisant pour dire que f est linéraire ?

[Fanfan]

Ta démonstration est très bien pour le 2) mais le problème c'est que tu utilise ton (*) pour montrer que (f-b)°(f-a)=0 or je dois le montrer sans ça.

[bauzau]

en fait:

tu as Im(f-b)+ker(f-b)=E en somme direct (c'est à dire que Im(f-b) intersection ker(f-b) = ensemble vide)
=> im(f-b) C (E \ (ker(f-b))

de meme on a im(f-a)+ker(f-a)=E (somme direct) => ker(f-a) C (E \ im(f-a))


Or Im(f-b) C ker(f-a) (par la question 1)

d'ou

(E \ ker(f-b)) C (E \ Im(f-a))

et de facon ensembliste (tu le retrouve en faisant un schema)


ceci implique que im(f-a) c ker(f-b)

[Fanfan]

là tu e démontres que Im(f-a) C Ker(f-b),

or d'après je dois d'abord montrer que (f-b)°(f-a)=0 puis en déduire Im(f-a) C Ker(f-b)

je suis désolé de m'être mal exprimé

[bauzau]

non non j'ai bien compris, c'est juste que je trouve plus facile ce sens (et je ne trouve pas vraiment le chemin dans l'autre sens)

[Fanfan]

:S moi non plus

bon je pense que je vais inverser 2 questions :) merci pour ton aide

[Fanfan]

je pensais à ça :

(f-b)°(f-a)(x) c'est

(f-b)[(f-a)(x)] avec (f-a)(x) = Im(f-a)= y

donc on peut écrire (f-b)(y) et ceci est un élément de Im(f-b)

or Im(f-b) C Ker(f-a)

donc (f-b)°(f-a)(x)=o

qu'en penses tu ?

[bauzau]

or Im(f-b) C Ker(f-a) donc

à cette endroit le raisonnement est faux (en tout cas tu peux pas dire "donc" directement)

(f-b)°(f-a)(x)=o

(en fait cela montre (f-a)°(f-b)=0)