Ker f et imf

[linda23]

bonjour,
j'ai f(x,y,z)=(-2x+y+9z,-2x+y+9z,2z)

il faut que je trouve ker f et im f
pour ker f j'ai trouvé que c'etait un SEV engendré par (1,2,0) mais je sais pas comment faire pour Imf

comment on fait ?

[Ben314]

Salut,
Tout d'abord, vu que tu as calculé Ker(f), tu as sa dimension et grâce à un résultat classique (à connaitre) tu peut en déduire des choses utiles concernant la dimension de Im(f).

Ensuite, tout dépend sous quelle forme tu veut décrire ton Im(f).

Si tu veut pas t'emmerder, tu dit qu'évidement Im(f) est engendré par f(1,0,0)=(-2,-2,0) ; f(0,1,0)=(1,1,0) et f(0,0,1)=(9,9,2) et ça te donne une famille de générateur de Im(f).
Grâce au "résultat classique" çi dessus, tu doit savoir, sans calculs suplémentaires, que cette famille n'est pas une base de Im(f) et donc que pour en faire une base de Im(f), il faut enlever un (ou des) éléments de cette famille (le(s)quel(s) et pourquoi ?)

Si tu veut un peu plus t'emmerder, tu cherche non pas une base de Im(f) mais une (ou des) équation(s) de Im(f).
A froid, si on ne veut rien utiliser du tout comme connaissance, cela revient à résoudre le système :
a=-2x+y+9z
b=-2x+y+9z
c=2z
où x,y,z sont les "inconnues" et a,b,c des "paramètres". Ce qui t'interesse, c'est de savoir quelle sont les conditions sur a,b,c pour que le système ait au moins une solution.

Si tu n'est pas habitué à ce genre de manip, ben je te conseillerais de faire les deux méthodes et de faire la vérif ensuite que tu trouve bien deux fois lê même résultat (mais exprimé de façon différente)