Just for fun : Intégrale convergente
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30
-
par Nightmare » 14 Aoû 2006, 20:59
Bonsoir
Voici un exercice sympathique pour ceux qui s'ennuient :
Soient a et b deux réels quelconques.
Démontrez que l'intégrale impropre suivante est convergente et calculez sa limite :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ \Bigint_{0}^{+\infty} \frac{sin(bx)-sin(ax)}{x}dx)
Bon courage
:happy3:
-
tize
- Membre Complexe
- Messages: 2385
- Enregistré le: 16 Juin 2006, 20:52
-
par tize » 14 Aoû 2006, 21:04
Le fonction est prolongeable par continuité en 0 et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\to\frac{sinx}{x})
est intégrable sur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[0;\infty])
(classique avec une IPP). Après changement de variable, c'est la même chose que :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(b-a)\Bigint_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx)
En remplacant sin(x) par sa serie entiere on trouve
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2})
et donc :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(bx)-sin(ax)}{x}dx = (b-a)\frac{\pi}{2})
Sauf erreur de ma part
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30
-
par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:14
Salut tize.
Oui c'est une solution, mais maintenant supposons que l'on ne connait pas la valeur de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\rm \Bigint_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx)
Il y a une méthode qui permet de ne pas avoir à calculer cette dernière intégrale.
:happy3:
-
alben
- Membre Irrationnel
- Messages: 1144
- Enregistré le: 18 Mai 2006, 22:33
-
par alben » 14 Aoû 2006, 21:15
Bonsoir,
Moi je dis zéro
-
tize
- Membre Complexe
- Messages: 2385
- Enregistré le: 16 Juin 2006, 20:52
-
par tize » 14 Aoû 2006, 21:16
En remplacant sin(x) par sa serie entiere on trouve
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2})
et donc :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(bx)-sin(ax)}{x}dx = (b-a)\frac{\pi}{2})
Sauf erreur de ma part
-
nekros
- Membre Irrationnel
- Messages: 1507
- Enregistré le: 30 Oct 2005, 19:57
-
par nekros » 14 Aoû 2006, 21:19
Bonjour Nightmare,
On note
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$f(x)=\frac{sin(bx)-sin(ax)}{x})
Un développement limité en 0 donne :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$f(x)=b-a)
On peut donc prolonger f en 0 en posant
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$f(0)=b-a)
Par linéarité de l'intégrale, on a :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(bx)-sin(ax)}{x} = \int_{0}^{+\infty} \frac{sin(bx)}{x} - \int_{0}^{+\infty} \frac{sin(ax)}{x})
Or,
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\int_{0}^{c} \frac{sin(t)}{t}=[\frac{-cos(t)}{t}]_{0}^{c}-\int_{0}^{c} \frac{cos(t)}{t^2})
qui converge lorsque c tend vers l'infini.
Conclusion : l'intégrale converge
Je cherche la limite...
-
tize
- Membre Complexe
- Messages: 2385
- Enregistré le: 16 Juin 2006, 20:52
-
par tize » 14 Aoû 2006, 21:19
Nightmare a écrit:Salut tize.
Oui c'est une solution, mais maintenant supposons que l'on ne connait pas la valeur de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\rm \Bigint_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx)
Il y a une méthode qui permet de ne pas avoir à calculer cette dernière intégrale.
:happy3:
même avec b=1 et a=0 ?
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30
-
par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:26
Un indice : Utiliser le théorème de fubini
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30
-
par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:27
Hum attendez je vérifie je crois que j'ai fait une belle erreur dans mes calculs :briques:
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30
-
par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:31
Arf oui j'ai fait une terrible erreur ...
En fait j'avais écrit que :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\rm \frac{sin(bx)-sin(ax)}{x}=\Bigint_{a}^{b} cos(yx)dy)
Par conséquent notre intégrale est égale à :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\rm I= \Bigint_{0}^{+\infty}\Bigint_{a}^{b} cos(yx)dydx)
Soit par le théorème de Fubini :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\rm I=\Bigint_{a}^{b} \Bigint_{0}^{+\infty} cos(yx)dxdy)
Seulement
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\rm \Bigint_{0}^{+\infty} cos(yx)dx)
n'existe pas ...
-
nekros
- Membre Irrationnel
- Messages: 1507
- Enregistré le: 30 Oct 2005, 19:57
-
par nekros » 14 Aoû 2006, 21:34
On peut retrouver ce résultat en calculant l'intégrale double :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\int \int_{[0,T] \times [0,x]} sin(t) exp{-ut} dt du)
avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$T)
dans
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$[0,+\infty])
Cependant, c'est assez long.
Thomas G :zen:
-
alben
- Membre Irrationnel
- Messages: 1144
- Enregistré le: 18 Mai 2006, 22:33
-
par alben » 14 Aoû 2006, 23:01
On démontre assez facilement que sin(x)/x est intégrable de 0 à l'infini
donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_{0}^{+\infty} \; \frac{sin(bx)-sin(ax)}{x}dx =\int_{0}^{+\infty} \; \frac{sin(bx)}{bx}d(bx) - \int_{0}^{+\infty} \frac{sin(ax)}{ax}d(ax) =\int_{0}^{+\infty} \; \frac{sin(u)}{u}du-\int_{0}^{+\infty} \; \frac{sin(u)}{u}du=0)
-
nekros
- Membre Irrationnel
- Messages: 1507
- Enregistré le: 30 Oct 2005, 19:57
-
par nekros » 14 Aoû 2006, 23:05
Bonjour Alben,
Tu as posé u=ax et u=bx :hein:
-
alben
- Membre Irrationnel
- Messages: 1144
- Enregistré le: 18 Mai 2006, 22:33
-
par alben » 14 Aoû 2006, 23:12
Oui, j'aurai pu utiliser u et v, ça ne changeait rien
NB j'ai corrigé une petite erreur sur le 2ième intégrale du à la place de dx
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30
-
par Nightmare » 14 Aoû 2006, 23:27
Comment calcules tu
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\rm \Bigint_{0}^{+\infty} \frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x}dx)
avec cette méthode ?
-
nekros
- Membre Irrationnel
- Messages: 1507
- Enregistré le: 30 Oct 2005, 19:57
-
par nekros » 14 Aoû 2006, 23:33
Tiens ça me rappelle quelque chose cette intégrale :lol4:
-
alben
- Membre Irrationnel
- Messages: 1144
- Enregistré le: 18 Mai 2006, 22:33
-
par alben » 14 Aoû 2006, 23:50
nekros a écrit:alben > la deuxième égalité est fausse, ça revient à dire que ax=bx
.
Je ne comprends pas ta remarque. Je peux reformuler ainsi
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_{0}^{+\infty} \; \frac{sin(bx)-sin(ax)}{x}dx =\int_{0}^{+\infty} \; \frac{sin(u)}{u}du-\int_{0}^{+\infty} \; \frac{sin(v)}{v}dv=0)
Les deux variables u et v sont des variables muettes, elles n'interviennenbt pas dans le résultat final qui est identique dans les deux cas.
Nightmare, c'est un piège car l'exponentielle intégrale a un problème au voisinage de zéro.
En choisissant un h petit et et supposant a et b tous deux positifs, je dois pouvoir trouver quelque chose
-
nekros
- Membre Irrationnel
- Messages: 1507
- Enregistré le: 30 Oct 2005, 19:57
-
par nekros » 14 Aoû 2006, 23:52
Mais comment expliques-tu le fait que tu ne trouves pas la même limite ?
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30
-
par Nightmare » 14 Aoû 2006, 23:52
Eh oui Nekros :happy3:
Je me suis inspiré de cette intégrale justement pour la mienne !
-
nekros
- Membre Irrationnel
- Messages: 1507
- Enregistré le: 30 Oct 2005, 19:57
-
par nekros » 14 Aoû 2006, 23:54
Nightmare a écrit:Eh oui Nekros :happy3:
Je me suis inspiré de cette intégrale justement pour la mienne !
Je m'en doutais :ptdr:
En tout cas, merci pour l'exo !
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 91 invités