Just for fun : Intégrale convergente

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Nightmare
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Just for fun : Intégrale convergente

par Nightmare » 14 Aoû 2006, 20:59

Bonsoir

Voici un exercice sympathique pour ceux qui s'ennuient :

Soient a et b deux réels quelconques.
Démontrez que l'intégrale impropre suivante est convergente et calculez sa limite :


Bon courage

:happy3:



tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 21:04

Le fonction est prolongeable par continuité en 0 et est intégrable sur (classique avec une IPP). Après changement de variable, c'est la même chose que :


En remplacant sin(x) par sa serie entiere on trouve et donc :


Sauf erreur de ma part

Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:14

Salut tize.

Oui c'est une solution, mais maintenant supposons que l'on ne connait pas la valeur de

Il y a une méthode qui permet de ne pas avoir à calculer cette dernière intégrale.

:happy3:

alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 21:15

Bonsoir,

Moi je dis zéro

tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 21:16

En remplacant sin(x) par sa serie entiere on trouve et donc :


Sauf erreur de ma part

nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 21:19

Bonjour Nightmare,

On note

Un développement limité en 0 donne :
On peut donc prolonger f en 0 en posant

Par linéarité de l'intégrale, on a :



Or, qui converge lorsque c tend vers l'infini.

Conclusion : l'intégrale converge

Je cherche la limite...

tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 21:19

Nightmare a écrit:Salut tize.

Oui c'est une solution, mais maintenant supposons que l'on ne connait pas la valeur de

Il y a une méthode qui permet de ne pas avoir à calculer cette dernière intégrale.

:happy3:


même avec b=1 et a=0 ?

Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:26

Un indice : Utiliser le théorème de fubini

Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:27

Hum attendez je vérifie je crois que j'ai fait une belle erreur dans mes calculs :briques:

Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:31

Arf oui j'ai fait une terrible erreur ...

En fait j'avais écrit que :


Par conséquent notre intégrale est égale à :

Soit par le théorème de Fubini :


Seulement n'existe pas ...

nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 21:34

On peut retrouver ce résultat en calculant l'intégrale double :

avec dans

Cependant, c'est assez long.

Thomas G :zen:

alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 23:01

On démontre assez facilement que sin(x)/x est intégrable de 0 à l'infini
donc


nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:05

Bonjour Alben,

Tu as posé u=ax et u=bx :hein:

alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 23:12

Oui, j'aurai pu utiliser u et v, ça ne changeait rien
NB j'ai corrigé une petite erreur sur le 2ième intégrale du à la place de dx

Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 23:27

Comment calcules tu
avec cette méthode ?

nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:33

Tiens ça me rappelle quelque chose cette intégrale :lol4:

alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 23:50

nekros a écrit:alben > la deuxième égalité est fausse, ça revient à dire que ax=bx
.
Je ne comprends pas ta remarque. Je peux reformuler ainsi
Les deux variables u et v sont des variables muettes, elles n'interviennenbt pas dans le résultat final qui est identique dans les deux cas.
Nightmare, c'est un piège car l'exponentielle intégrale a un problème au voisinage de zéro.
En choisissant un h petit et et supposant a et b tous deux positifs, je dois pouvoir trouver quelque chose

nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:52

Mais comment expliques-tu le fait que tu ne trouves pas la même limite ?

Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 23:52

Eh oui Nekros :happy3:

Je me suis inspiré de cette intégrale justement pour la mienne !

nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:54

Nightmare a écrit:Eh oui Nekros :happy3:

Je me suis inspiré de cette intégrale justement pour la mienne !


Je m'en doutais :ptdr:

En tout cas, merci pour l'exo !

 

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