Exo fun de matrices

[Mohamed]

coucou les amis,

soit A et B 2 matrices carrées qui commutent :
Mq det()>=0

BNE CHANCE

[yos]

Soit M=A+iB.

[Joker62]

MOi j'me serais plus intéressé au Binôme de Newton vu que A et B commutent...
Mais bon

[Joker62]

C'est vrai que ça donne rien ! :D
Mais le problème, c'est que Yos ne se sert pas de la commutativité...
Donc notre méthode doit bien aboutir quand même :)

[Joker62]

Ah ouai ! c'était caché :D

[Mohamed]

bne réponse Yos!

[yos]

Dans le même genre : A est une matrice carrée réelle vérifiant . Démontrer que

[Daniel-Jackson]

C'est pareil on applique le résulta précédent en écrivant que :

A^3 -A = I c'est pareil que A ( A²-I) =I

Mais -I = (i *I)² donc A² -I = A² +(i*I)² et les matrices i*I et A commutent et le résultat en découle ........ det ( A ² + (i*I)² ) >=0 et comme le produit avec det(A) donne 1 .........bref vous aurez compris :D

[yos]

Oui, on peut aussi faire plus classique : A diagonalisable ds C avec au plus une vp réelle (qui est >0) et deux vp non réelles conjuguées avec la meme multiplicité, donc...

[Daniel-Jackson]

Oui, on peut aussi faire plus classique : A diagonalisable ds C avec au plus une vp réelle (qui est >0) et deux vp non réelles conjuguées avec la meme multiplicité, donc...

Pourquoi diagonalisable tout de suite ? Trigonalisable tu veux dire , non ?

[yos]

annulée par un polynôme à racines simple donc diagonalisable.

[Daniel-Jackson]

annulée par un polynôme à racines simple donc diagonalisable.

oui oui c'est ce que je me suis dit après avoir posté mais dans ce cas pourquoi se placer dans C . Il n'est pas à racines simple dans R ce polynome ?

Oula je dis une connerie


il n'est pas scindé je suppose

Laise tomber je m'embrouille

[yos]

C'est pareil on applique le résulta précédent en écrivant que :

A^3 -A = I c'est pareil que A ( A²-I) =I

Mais -I = (i *I)² donc A² -I = A² +(i*I)² et les matrices i*I et A commutent et le résultat en découle ........ det ( A ² + (i*I)² ) >=0 et comme le produit avec det(A) donne 1 .........bref vous aurez compris

En fait c'est faux cette méthode car la matrice iI est pas réelle.

[Imod]

Bonjour à tous , un autre encore plus surprenant :

Soit et deux matrices carrées à coefficients réels telles que :

Alors .

Imod

[Daniel-Jackson]

En fait c'est faux cette méthode car la matrice iI est pas réelle.

Je ne vois pas où est le problème , si tu regarde le premier problème , on ne précise même pas le corps en question , donc ça doit marcher aussi pour des matrices A et B à coeff dans C qui comuttent .

[fahr451]

exemple

A= 0 de taille 3

A^2 - I a un déterminant qui vaut -1

[Daniel-Jackson]

exemple

A= 0 de taille 3

A^2 - I a un déterminant qui vaut -1

Ah oui pas faux ! Je retire ce que j'ai dit .

Donc dès le départ c'était des matrices à coeff réel alors !

Masi quelque chose me turlupine un peu , c'est que le raisonnement de yos n'a fait mention nulle part du corps . Apriori on se place sur C pour factoriser



Et cette factorisation est valable pour des matrice à coeff dans C , non ?

[fahr451]

si B n'est pas réelle

A-iB n'est pas la conjuguée de A+iB a priori

[Daniel-Jackson]

si B n'est pas réelle

A-iB n'est pas la conjuguée de A+iB a priori

Ah bien vu !

C'est ça qui foire tout !

[yos]

Bonjour à tous , un autre encore plus surprenant :

Soit et deux matrices carrées à coefficients réels telles que :

Alors .

Imod

Soit
L'hypothèse entraîne , donc en prenant les déterminants, le premier membre est réel ou imaginaire pur alors que le second est où est un réel. La seule solution est .