?Isométries laissant globalement invariant une partie du plan
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Isométries laissant globalement invariant une partie du plan
par checkmaths » 28 Nov 2018, 18:09
Bonsoir, ce devoir de maths est vraiment difficile, pourriez-vous m'aider svp ?
}\textrm{ Montrer que si }f\textrm{ et }g\textrm{ sont deux isom\'etries laissant }F\textrm{ globalement invariante, alors il en est de m\^eme pour}\\f\circ g.\\\textbf{2)}\textrm{ Soit }t\textrm{ une translation laissant }F\textrm{ globalement invariante, et soit }\vec{u}\textrm{ son vecteur (suppos\'e }\textbf{non nul}\textrm{). Montrer}\\\textrm{que, pour chaque entier naturel }k\textrm{, }F\textrm{ est encore globalement invariante par la translation de vecteur }k\vec{u}\textrm{. \'Etant}\\\textrm{donn\'e un point }A_0\textrm{ de }F\textrm{, construire une suite }\left(A_k\right)_{k \geq0}\textrm{ de points align\'es appartenant \`a }F\textrm{, pour en d\'eduire que }\\F\textrm{ n'est pas born\'ee.}\\\textbf{3)}\textrm{ Soit }F\textrm{ une figure born\'ee. Montrer qu'elle ne peut pas avoir deux centres de sym\'etrie (si }O\textrm{ et }O'\textrm{ sont deux}\\\textrm{centres de sym\'etrie distincts, et }S_O\textrm{ et }S_{O'}\textrm{ les sym\'etries centrales associ\'ees, \'etudier }S_O\circ S_{O'}).\\\textbf{4)}\textrm{ Soit }F\textrm{ une figure ayant un unique centre de sym\'etrie, not\'e }O\textrm{, et soit }i\textrm{ une transformation affine ; montrer}\\\textrm{que }i(O)\textrm{ est un centre sym\'etrie de }i(F)\textrm{. En d\'eduire que si }i\textrm{ laisse }F\textrm{ globalement invariante, alors }i(O)=O.)
}\textrm{ Soit }\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)\textrm{ un rep\`ere orthonorm\'e du plan }\pi\textrm{. Faire une liste aussi compl\`ete que possible des axes de}\\\textrm{sym\'etrie de la courbe d'\'equation }y=\sin x\textrm{ (dans cette question, on ne demande pas de d\'emonstration).}\\\textbf{2)}\textrm{ D\'eterminer les axes de sym\'etries d'un triangle \'equilat\'eral, puis d'un carr\'e.}\\\textbf{3)}\textrm{ Soit }F\textrm{ la courbe d'\'equation }x^4+y^4=1\textrm{. On note }\mathcal{I}_F\textrm{ l'ensemble des isom\'etries laissant }F\textrm{ globalement}\\\textrm{invariante et on voudrait faire la liste des \'el\'ements de }\mathcal{I}_F.\\\textrm{a) Tracer la courbe }F\textrm{. }O\textrm{ est-il l'unique centre de sym\'etrie de }F\textrm{ ?}\\\textrm{b) Chercher les points de }F\textrm{ les plus proches de }O\textrm{ (pour cela on pourra chercher le minimum de }x^2+y^2\textrm{ avec}\right\\y=\sqrt[4]{1-x^4}\textrm{ et }x\textrm{ et }y\textrm{ positifs)}\textrm{. Soient }A_1\textrm{, }A_2\textrm{, }A_3\textrm{ et }A_4\textrm{ les points en question.}\\\textrm{c) Montrer qu'un \'el\'ement }i\textrm{ de }\mathcal{I}_F\textrm{ laisse l'ensemble }\{A_1,A_2,A_3,A_4\}\textrm{ globalement invariant. En d\'eduire tous}\\\textrm{les \'el\'ements de }\mathcal{I}_F.)
.}\\\textbf{1)}\textrm{ Pour }i\textrm{ compris entre 1 et }n\textrm{ on note }S_i\textrm{ la sym\'etrie d'axe }D_i\textrm{. On va d'abord montrer que les droites }D_i\\(1\leq i\leq n)\textrm{ sont s\'ecantes deux \`a deux : supposons qu'il existe parmi elles deux droites parall\`eles, par exemple}\\D_1\textrm{ et }D_2.\\\textrm{a) D\'emontrer que }S_2\circ S_1\circ S_2\textrm{ est un sym\'etrie dont on d\'eterminera l'axe, not\'e }\Delta_1\textrm{ ; pourquoi }\Delta_1\textrm{ est-il un axe}\\\textrm{de sym\'etrie de }F\textrm{ ?}\\\textrm{b) En utilisant la m\'ethode de la question pr\'ec\'edente construire \`a partir des droites }D_2\textrm{ et }\Delta_1\textrm{ un nouvel axe de}\\\textrm{sym\'etrie de }F\textrm{. Trouver ainsi un proc\'ed\'e permettant de construire une infinit\'e de sym\'etries axiales laissant }F\\\textrm{globalement invariant. Mettre la contradiction en \'evidence.}\\\textbf{2)}\textrm{ V\'erifier que }S_i\circ S_j\circ S_i\textrm{ est une sym\'etrie par rapport \`a la droite }S_i(D_j)\textrm{ En d\'eduire que }S_i(D_j)\textrm{ appartient \`a}\\\Sigma.\\\textbf{3)}\textrm{ Soit }V\textrm{ l'ensemble des points d'intersections des droites }D_i\textrm{. En utilisant la question pr\'ec\'edente et les}\\\textrm{propri\'et\'es des transformations affines montrer que }S_i(V)=V.\\\textbf{4)}\textrm{ Soit }\mathcal{A}\textrm{ un ensemble ayant un nombre fini de points. On note par Tr}(\mathcal{A})\textrm{ l'ensemble des transformations}\\\textrm{affines le laissant globalement invariant. Montrer que l'isobarycentre de }\mathcal{A}\textrm{ est invariant par chaque \'el\'ement de}\\\textrm{Tr}(\mathcal{A})\textrm{. On a ainsi d\'emontr\'e que toutes ces transformations affines ont un point invariant commun.}\\\textbf{5)}\textrm{ En d\'eduire en particulier que tous les axes de sym\'etrie de }V\textrm{ sont concourants. A-t-on ainsi d\'emontr\'e la}\\\textrm{propri\'et\'e annonc\'ee avant la question 1 ?})
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