Stabilité des SLI (Système Linéaire Invariant)

[momo82]

Bonjour,

Je me suis remis au traitement du signal, il n'y a pas longtemps.
Je cherche à démontrer l'équivalence suivante qui concerne la stabilité des SLI (Systèmes Linéaires Invariants).

Un SLI est stable (le module de sa réponse impulsionnelle est sommable) équivaut à dire :
La transformée en z de sa réponse impulsionnelle a l'ensemble de ses pôles dans le cercle de rayon unité.

J'ai trouvé une première démonstration qui consiste :
a/ A prouver l'existence et l'unicité de la décomposition en éléments simples de la transformée en z de sa réponse impulsionnelle.
b/ Une fois qu'on a la décomposition en éléments simples, il est facile d'arriver à la fin de la démonstration si on applique la transformée en z inverse à chaque élément de cette décomposition.
Mais je trouve cette démonstration assez laborieuse comparée à la seconde que j'ai trouvée (mais seulement partielle...) :

Voici la seconde démonstration (cf. le document joint).
Dans cette démonstration partielle, il est démontré que si le SLI est stable (le module de sa réponse impulsionnelle est sommable), on arrive à démontrer que les pôles de la transformée en z de sa réponse impulsionnelle se situent dans le cercle de rayon unité (assez facilement).
Cependant, la réciproque est admise.

Si quelqu'un a le cheminement pour prouver la réciproque de cette démonstration, je suis preneur.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.