Classification des isométries dans le plan

[JB-Tan]

Bonjour,

Je souhaiterais avoir une aide pour comprendre une preuve proposé par ma prof de Géométrie sur la classification des isométries dans R2.

Voilà, l'idée de la preuve est de le faire au cas par cas. On prend une isométrie f quelconque de R2, et on regarde l'ensemble de ses points fixes. Si f n'est pas l'identité, on construit une droite L telle que :
- Soit f = sigmaL(x)
- Soit f est la composition de sigmaL(x) avec g une isométrie telle que Fix(g) contient au moins un point ou dans un second cas au moins une droite. (avec sigmaL la réflexion par rapport à la droite L).

Le problème est ici : On a donc vu que dans tout les cas, si f appartient à Isom(R2), alors dim(Fix(f))=i<2, et on peut trouver une droite L telle que f est la composition de sigmaL et g avec dim(Fix(g))>i (on adopte ici la convention dimension de l'ensemble vide égale -1).
Ainsi dans le cas où f n'a pas de point fixe, il faut la pré-composer avec 3 réflexions pour trouver une isométrie avec un ensemble de points fixes de dimension 2, c'est-à-dire l'identité.

Je ne vois absolument pas comment par le fait que dim(Fix(f))=-1 on arrive à dire que l'inverse de f est une composition de 3 réflexions.

Désolé si ce n'est pas clair et dites-moi si vous voulez que j'éclaire quelques points et merci d'avance pour vos réponses

[zygomatique]

salut

c'est quoi sigmaL(x) ?

[Robot]

D'après ce que je comprends de tes explications, il s'agit de montrer que toute isométrie du plan est la composée d'au plus 3 réflexions, et pas de classification des isométries.
Si f n'a aucun point fixe, on prend un point A du plan et alors en composant avec la réflexion par rapport à la médiatrice de A et f(A) on obtient une isométrie qui a A comme point fixe.
Si f a un seul point fixe A, on prend un point B différent de A et alors en composant avec la réflexion par rapport à la médiatrice de B et f(B) (qui passe par A), on obtient une isométrie telle que tous les points de la droite (AB) sont fixes.
Enfin si l'ensemble des points fixes de f est une droite D, alors f est la réflexion par rapport à D (et donc donne l'identité quand on la compose avec elle-même).

[JB-Tan]

Pour zygomatique : (avec sigmaL la réflexion par rapport à la droite L).

Et Pour Robot :

Ouais en fait c'est la première partie de la preuve de classification, on montre que toute isométrie du plan ce compose d'au maximum 3 réflexions et ensuite dans la deuxième partie on fait aussi au cas par cas pour la composition de 0, 1,2 ou 3 réflexions pour f.

Donc j'ai compris pourquoi on pouvais, à partir d'une isométrie f de dim(Fix(f))=i , construire une isométrie g de dim(Fix(g))>i mais ce que je ne comprend pas est la fin de la preuve, même avec l'exemple qu'elle a donné qui est :

Ainsi dans le cas où f n'a pas de point fixe, il faut la pré-composer avec 3 réflexions pour trouver une isométrie avec un ensemble de points fixes de dimension 2, c'est-à-dire l'identité.

ce que je comprend de cet exemple est :
si Fix(f) n'a pas de point fixe => dim(Fix(f))=-1, on a f=(sigmaL)o(g) (une composition), et comme dim(Fix(id))=2 alors f^(-1) est la composition de 3 reflexions => f est la composition de 3 reflexions.

Je ne vois pas du tout comment elle sort ce résultat.
Parce que certes les cas par cas je les ai compris ( genre f aucun point fixe, on prend la médiatrice de [x,f(x)] quelconque => sigmaL(x)=f(x) et si on pose g=(sigmaL)o(f) on a x appartient a Fix(g).

Mais le fait que x apartient à Fix(g) n'implique pas l'existence ou la non-existence d'autre point dans Fix(g) ( en tout cas je ne vois pas comment celà l'impliquerait et c'est justement là que la dernière partie est censé nous éclairer mais je ne vois pas en quoi elle nous aide).

[Robot]

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.
Il semble que tu sois d'accord avec le fait que toute isométrie plane, composée avec au plus 3 réflexions, soit l'identité. Ceci entraîne que toute isométrie plane est la composée d'au plus 3 réflexions. Point barre.

Vraiment, je ne comprends pas où se situe ton problème. As-tu lu attentivement ce que j'ai écrit plus haut ?

[JB-Tan]

Bon bah merci pour l'aide, et non je n'ai toujours pas compris ( et je ne comprend pas non plus où est ce que je ne comprend pas ) mais en tout cas y a un truc qui bloque ^^

En tout cas merci pour l'aide Robot