Irrationnalité

[zaze2263]

bonjour,

je n'arrive pas à démontrer que A(n) : = 1/pi * arccos (1/sqrt(n)) est irrationnel.

Est-ce que quelqu'un a une idée de la preuve ?

Merci de votre aide

[Nightmare]

Hello,

je l'avais vu en TD l'année dernière, de mémoire on évalue les Pm=cos(m.A(n)) où m est un entier quelconque. A partir des formules d'addition, on induit une forme assez simple du type Pm=(un entier dépendant de m)/sqrt(n) et une formule de récurrence sur "l'entier dépendant de m" de la formule précédente qui devrait nous permettre d'arriver à une contradiction.

C'est très flou, comme ma mémoire sur cet exercice, mais je pense avoir parlé des grandes lignes, à savoir l'introduction du cos, l'utilisation des formules d'addition, et l'utilisation d'une formule de récurrence.

Je vais voir si on peut effectivement résoudre l'exercice avec ces idées, essaye de ton côté.

Edit : Bon, j'ai triché, j'ai retrouvé ma feuille de TD et la correction, j'avais presque les bonnes idées, sauf qu'il faut prendre Pm=cos(pi m A(n)), et on va le trouver sous la forme (Entier dépendant de m)/[sqrt(n)]^m. Pour l'obtenir, récurrence à partir des formules d'addition cos(a)+cos(b) utilisées avec a=(m+1)pi.A(n) et b=(m-1)pi.A(n).

[gdlrdc]

déjà c'est faux pour n=1 et n=2

[zaze2263]

merci bcp pour ta rép! je vais essayer de le regarder ce soir

[Nightmare]

Re,

pour te dire que j'ai retrouvé la preuve dont s'est probablement inspiré mon corrigé dans le "proofs from the book, si tu l'as, tu peux y jeter un oeil.

[zaze2263]

Bonjour,
j'ai ce livre en français "raisonnements divins" mais je ne comprends pas quand on a :
cos k phi(n) = Ak/(sqrtn)^k

peux-tu me détailler un peu plus stp
merci

[Nightmare]

Que ne comprends-tu pas?

C'est une hypothèse de récurrence (sur k).