Valeurs prises par sinus _ irrationnalité de pi

[lucie68]

Bonjour tout le monde

Alors voilà, dans un exercice
( Q2 du lien suivant pour ceux qui aimeraient le détail http://capes-math.org/2007/dossiers2007/dossier20070701.pdf )
Je dois utiliser que les seules valeurs entières prises par la fonction sinus sont 0 1 et -1.
Je ne sais pas trop comment le montrer.
J'imagine qu'il faut utiliser que pi est irrationnel, mais ça pareil je n'ai pas trop d'idées comment faire.
C'est pour ça que j'ai pensé à vous

Merci d'avance

[uztop]

Bonjour,

à mon avis ça se montre bien par récurrence aussi.
n'est pas entier donc avec
Si on travaille modulo , les valeurs que ne peut pas prendre sont -; - ; or les sinus de ces valeurs sont -1;0 et 1.
Donc ne peut pas être entier non plus.

[lucie68]

Ah oui en effet !
Enfaite , j'ai même pas essayé la récurrence parce que je me suis dit que le but du dossier était de montrer différents types de raisonnement, et dc pas deux récurrence de suite.
Mais ça marche assez bien :)
Merci à toi !

[lucie68]

Et que penses -tu de la dernière question?
parce que avec la théorie sur les suites récurrentes, comme -1 1 ouvert est un intervalle stable, on peut montrer que la fonction f associée est décroissante et du coup (un) ne peut être monotone.
Mais ce qui m'inquiète, c'est qu'en raisonnant comme ça, je n'utilise ni les deux première questions ni un raisonnement type absurde..

[uztop]

je pense qu'il faut quand même ajouter que cette suite n'est pas constante (le seul cas serait u0=0 mais on sait que ça n'est pas le cas)
Donc effectivement, on n'utilise pas de raisonnement par l'absurde; à mon avis il faut donc absolument mettre au moins un exo qui utilise le raisonnement par l'absurde dans la deuxième partie. D'ailleurs, il y a des points de suspension ce qui me laisse penser qu'ajouter un troisième type de raisonnement (contraposée par exemple) serait bienvenu.

[lucie68]

Ok merci beaucoup, c'est vraiment cool de ta part de m'avoir répondu !
A bientôt peut être ;)