Irrationnalité de racine de 2

[Armays]

Bonjour,

Je suis en iut d'informatique, et le prof nous a démontré à l'arrache l'irrationnalité de racine de 2, mais je n'ai pas compris, car il a utilisé la méthode des valuations. Qu'est ce qu'une valuation ? A quoi est-ce que ça sert ? Quelles sont les valuations de 2 q² = p² ? Peut-on déduire d'une valuation si le nombre est pair ou impair ?

[chan79]

Bonjour,

Je suis en iut d'informatique, et le prof nous a démontré à l'arrache l'irrationnalité de racine de 2, mais je n'ai pas compris, car il a utilisé la méthode des valuations. Qu'est ce qu'une valuation ? A quoi est-ce que ça sert ? Quelles sont les valuations de 2 q² = p² ? Peut-on déduire d'une valuation si le nombre est pair ou impair ?

salut
si la racine carrée de 2 était un rationnel, on pourrait écrire:
avec et entiers premiers entre eux
Cela donne:

serait pair et donc aussi.
On pourrait écrire et on aurait



serait pair et donc b aussi.
Il y a une contradiction car et sont premiers entre eux.
La racine carrée de 2 est irrationnelle.

[Armays]

salut
si la racine carrée de 2 était un rationnel, on pourrait écrire:
avec et entiers premiers entre eux
Cela donne:

serait pair et donc aussi.
On pourrait écrire et on aurait



serait pair et donc b aussi.
Il y a une contradiction car et sont premiers entre eux.
La racine carrée de 2 est irrationnelle.

Oui j'ai compris cette méthode, mais je ne comprends pas la méthode des valuations.

[Ben314]

Salut,
La "méthode des valuations" est très semblable à celle donnée par Chan, mais elle permet de se passer de l'hypothèse de départ "a et b premiers entre eux" (ce qui la rend légèrement plus technique)

Le seul truc à comprendre, c'est évidement la définition d'une "valuation" :

Si est un nombre premier et un entier naturel non nul, on appelle valuation -adique de l'exposant de dans la décomposition de en nombres premiers (que l'on note ).
Exemples :
donc , , , .

On montre alors facilement que ce qui implique que est forcément impair alors que est forcément pair et donc on ne peut pas avoir .

[adrien69]

Salut,
La "méthode des valuations" est très semblable à celle donnée par Chan, mais elle permet de se passer de l'hypothèse de départ "a et b premiers entre eux" (ce qui la rend légèrement plus technique)

Le seul truc à comprendre, c'est évidement la définition d'une "valuation" :

On montre alors facilement que ce qui implique que est forcément impair alors que est forcément pair et donc on ne peut pas avoir .

Tu me fais (légèrement) penser à Grothendieck

[Armays]

Salut,
La "méthode des valuations" est très semblable à celle donnée par Chan, mais elle permet de se passer de l'hypothèse de départ "a et b premiers entre eux" (ce qui la rend légèrement plus technique)

Le seul truc à comprendre, c'est évidement la définition d'une "valuation" :

On montre alors facilement que ce qui implique que est forcément impair alors que est forcément pair et donc on ne peut pas avoir .

Salut Ben314, je ne comprends pas pourquoi :
v_p(n\times m)=v_p(n)+v_p(m)
v_2(2b^2)=1+2v_2(b)
v_2(2b^2)=1+2v_2(b) est forcément impair
v_2(a^2)=2v_2(a)
v_2(a^2)=2v_2(a) est forcément pair

Merci !