Inversion

[denver]

J'ai malheureusement encore un autre petit problème. Je dois montrer deux points que je n'arrive pas à faire.

A) Par trois points passe un cercle et un seul. Montrer ceci en le ramenant par inversion à un fait classique sur les droites.

B) Soit un cercle C et 2 points extérieurs P1 et P2 donnés. Combien y a t-il "en général" de cercle tangents à C qui passent par P1 et P2.

[phoebe]

Salut,

Penses la prochaine fois à dire bonjour et un petit merci :hum:

A+

[Mikou]

salut,

Pour la A) si un cercle pass par 3 point a,b,c (non alignés) alors il est équidistant de a et b, de a et b et b et b, autrement dit il appartient a la médiatrice de[AB] et a celle de [BC] comme les droite (AB) et (BC) ne sont pas parallèles alors les médiatrice des segments [AB] et [BC] non plus, or deux droite non parallèles sont sécantes un 1 seul point : ici le centre du cercle.

[Quidam]

J'ai malheureusement encore un autre petit problème. Je dois montrer deux points que je n'arrive pas à faire.

A) Par trois points passe un cercle et un seul. Montrer ceci en le ramenant par inversion à un fait classique sur les droites.

B) Soit un cercle C et 2 points extérieurs P1 et P2 donnés. Combien y a t-il "en général" de cercle tangents à C qui passent par P1 et P2.

A) Soit P un cercle passant par las trois points (A, B, C). L'inversion de centre A et de puissance 1 transforme P en une droite, et B et C en deux points B' et C' situés sur cette droite. Comme par deux points ne passe qu'une seule droite, le cercle P est le seul répondant à la question !

B) Soit M un point du cercle. L'inversion de centre M et de puissance 1 transforme C en une droite D, et P1 et P2, respectivement en P'1 et P'2. Un cercle est en général transformé en un cercle (s'il ne passe pas par le centre de l'inversion). Rechercher un cercle tangent à C et passant par P1 et P2 revient à rechercher un cercle tangent à D et passant par P'1 et P'2. Le centre d'un tel cercle est sur la médiatrice de P'1P'2 et comme il doit être équidistant de P1 et de D, il est également sur la parabole de directrice D et de foyet P'1. Comme une parabole et une droite ont en général deux points communs...

Par ailleurs, il faut éventuellement penser à un cercle qui serait tangent à C en M et qui aurait pour inverse une droite. La tangence des deux cercles se traduirait alors par un parallélisme des deux droites transformées des deux cercles. P'1P'2 serait alors parallèle à la D et l'intersection de la médiatrice de P'1P'2 et de la parabole de directrice D et de foyer P'1 serait réduite à un unique point. Dans ce cas-là aussi, il y aurait deux cercles solutions.