Inversion de sphère

[lulubelle]

Bonjour à tous

Vendredi, je passe en candidate libre et en anticipé l'épreuve de mathématiques du BTS de géomètre, et pour mes révisions je cherche un exemple concret pour bien comprendre l'inversion de sphère. En effet, j'ai bien compris la définition et le principe de l'inversion de spère, de pôle O et de puissance k. Mais je ne suis pas certaine de l'application concrète à en faire.

Par exemple, dans un espace rapporté à un repère orthonormal direct (O,i,j,k) on a une sphère de centre O et de rayon 1, avec les points S et N extrémités de l'axe vertical k.
Pour l'inversion I de pôle N (donc le pôle appartient à la sphère) et de puissance 2, l'image de la sphère est, selon définition, un plan.
Ca c'est la théorie que je ne parviens pas à mettre en pratique. Pour moi, l'image de O par I va être O' tel que NO'=2/NO=2/1=2 ; ok ; l'image de S par I va être S' tel que NS'=2/2=1 ; et si j'ai un point A par exemple de coord sphériques (1,0,0), A' sera tel que NA'=2/NA=2/racine2=racine2 ... bref j'ai du mal à visualiser que l'image de la sphère par cette inversion est un plan.
Est-ce que quelqu'un peut me dire si déjà j'applique correctement la définition de l'inversion dans cet exemple, et ensuite m'expliquer pourquoi on dit que l'image de la sphère par une inversion avec un pôle sur la sphère est un plan alors que je retrouve les images des points en vrac un peu partout ?
Merci d'avance, ce n'est pas facile de travailler toute seule, surtout avec ce genre de sujet pas très répandu ...

[Quidam]

Bonjour,

Si tu te demandes quelle va être l'image d'un point P de ta sphère dans l'inversion, je te conseille de te placer dans le plan NSP. L'intersection de ta sphère et du plan, sera alors le cercle de centre O et de rayon 1. Il est dès lors, plus facile de comprendre la géométrie du dessin.

Pour le point P, il est clair que l'angle SPN est droit, tout comme l'angle NOP'. Les deux triangles NOP' et NPS sont donc semblables. Il en résulte que :

et par conséquent, que NP*NP'=NO.NS=2
Donc, P', intersection de NP et de AB, est l'image de P dans l'inversion.

De même pour le point Q, on constate que les triangles NQS et NOQ' sont semblables et donc que :
et donc que : NQ.NQ'=NO*NS=2.
Alors Q' est l'image de Q dans l'inversion.

Quant aux points A et B, ils sont invariants !

[lulubelle]

Merci pour l'explication, je vais tenter de refaire mes exos avec ce nouvel éclairage. En fait c'est la notion de plan image qui me pose problème, et que je vais travailler.