Inversion de polynôme

[MaximeDC]

Bonjour,

Je souhaiterais trouver quelle est l'inversion du polynôme suivant au voisinage de 0, exprimée sous forme d'une somme :

1/(1-ax-bx²)= ?

Sachant par exemple que:

1/(1-ax)= 1+ax+a²x²+...+a^k.x^k+...

Merci beaucoup par avance pour votre aide !

[Ben314]

Salut,
Deux méthodes (au moins) :
1) Tu utilise le fait que, pour q dans ]-1,1[, on a 1/(1-q)=1+q+q^2+q^3+... (*) en prenant q=ax+bx^2 : c'est super simple à écrire, mais le coté chiant, c'est que tu risque d'avoir besoin de développer les q^n=(ax+bx^2)^n (ça dépend des questions suivantes)
2) Tu factorise (éventuellement dans C) le polynôme (1-ax-bx²) sous la forme (1-alpha.x)(1-beta.x) puis tu trouve deux constantes C1 et C2 telles que 1/(1-ax-bx²) = C1/(1-alpha.x)+C2/(1-beta.x) et tu termine en utilisant (*) avec q=alpha.x puis avec q=beta.x [cette méthode ne marche pas lorsque 1-ax-bx^2 admet une racine double, mais dans ce cas là, il y a bien plus simple vu que 1-ax-bx^2=(1-lambda.x)^2]

[pascal16]

pourquoi pas une division par les puissances croissantes ?

1+ax+(a²+b)x²+(ab+a(a²+b))x^3

on doit pouvoir retrouver le schéma

[Ben314]

C'est aussi une méthode, et sans doute la plus rapide pour trouver un "petit" D.L. (i.e. les 3 ou 4 premiers termes).
Au delà, c'est moins clair (que ce soit le plus rapide) et de toute façon, tout dépend de l'objectif.
Si c'est d'obtenir une formule close (sans symbole sigma) donnant alors forcément, à un moment donné, tu sera amené à chercher les racines de 1-ax-bx^2 vu que les s'expriment comme somme de puissance de ces deux racines (et un truc du style , je vois pas comment l'écrire autrement) donc je pense que le plus rapide c'est d'attaquer directement par là (i.e. la factorisation du polynôme)

[Ben314]

Sinon, pour "retrouver le schéma", je sais pas si le plus simple c'est pas d'écrire que

Donc
qui correspond plus ou moins au principe d'une division : on calcule les de proche en proche.

Et bien sûr, pour exprimer en fonction de , c'est à dire "résoudre" la formule de récurrence, il faut déterminer les solutions de ce qui est bien la même chose que de factoriser le de départ.