Inversibilité d'une matrice

[zuko]

bonjour
dans mon cours pour démontrer qu'une matrice est inversible, le prof donne 6 propriétés équivalentes comme condition. pour démontrer en particulier que
"il existe B tel q AB=In" => "il existe B tel que BA=In (In matrice identité)"
il dit : AB=In A(BA-In)=0, ca ok
puis "ainsi chaque vecteur colonne de BA-In est dans Ker(A)" pourquoi? je vois pas du tout! est ce un faute de frappe? qqn sait?

[vincentroumezy]

Bonjour.
Les colonnes de A(BA-In) sont les ACi, où Ci est la i ème colonne de BA-In, donc ACi=0, Ci est dans Ker A.

[spike0789]

Salut,
Bin A(BA-In)=0, nommons les colonnes de BA-In, C1,C2,...,Cn :

Alors A(C1|C2|...|Cn)=(0|0|...|0),
Donc pour tout i de 1..n, ACi=0 => Ci est dans ker(A)

[vincentroumezy]

Tiens, comme un air de déjà vu :lol3:

[spike0789]

en effet :lol3:

[zuko]

j'ai un peu de mal : d'ou vient le produit? pourquoi le noyau est la matrice qui annule la première? d'ou vient la relation de produit?

[Kikoo <3 Bieber]

j'ai un peu de mal : d'ou vient le produit? pourquoi le noyau est la matrice qui annule la première? d'ou vient la relation de produit?

On peut identifier ce produit matriciel à la composition d'un vecteur x (X est la matrice canoniquement associée à x) par f canoniquement associée à sa matrice A.
Alors f(x)=0 => x=0 équivaut à AX=(0) => X=(0)

[spike0789]

Kikoo <3 Bieber te montre la définition de l'injectivité.

Pour répondre à ta question : soit A une matrice de Mn et X un vecteur de R^n tels que AX=0 alors X appartient a ker(A) (définition du noyau de A)
Maintenant, pour l'exo, si tu écris sur une feuille ce que vincentroumezy et moi-même t'avons dit, à savoir A(C1|C2|...|Cn)=(0|0|...|0), tu verras que chaque colonne de la matrice nulle (à droite) est égale à chaque produit ACi

[zuko]

bah merci pr les réponses, mais en fait je comprends que l'explication de Kikoo, pas les autres, l'aspect calculatoire, ok, mais je comprends pas vraiment de quoi on a tiré que si AB=0 alors B appartient au noyau de A
par contre je comprend le point de vue de fr une analogie avec une application linéaire.
merci!

[Sylviel]

je comprends pas vraiment de quoi on a tiré que si AB=0 alors B appartient au noyau de A

Par définition du noyau si X est un vecteur (colonne) alors il est dans le noyau de A ssi
AX=0.

Maintenant je prendres 3 vecteurs colonnes X1, X2, X3, que vaut le produit
A(X1,X2,X3) ? (ou la parenthèse correspond à la matrice dont la première colonne vaut X1 etc...)

et bien le produit vaut
(AX1, AX2, AX3) qui vaut 0 ssi on a
AX1=0
AX2=0
AX3=0
donc ssi X1 et X2 et X3 sont dans le noyau de A.

[zuko]

Par définition du noyau si X est un vecteur (colonne) alors il est dans le noyau de A ssi
AX=0.

En fait c'est ca qui me manquait le prof nous a seulement dis :
_pour une matrice A le noyau c'est l'ensemble des sol du système homogène associé à A
_puis pour les appli linéaires, definition u appartient a Ker f f(u)=0 AU=0

il devait penser que c'était évident pour une matrice tte seule, mais moi si je loupe une étape de fourmi, je bloque! bah merci pr les réponses en tt cas cette fois c bon!