Matrice et inversibilité

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur les matrices, mais je bloque sur la dernière question. Je pense que j'ai quelque chose, mais ça me parait pas très clair, c'est pourquoi je demande un peu d'aide :

---
On s'intéresse à une application non constante de dans qui vérifie pour tout couple de matrices :



.... (les questions intermédiaires étant pas très intéressantes, je ne les mets pas)

Soit de rang

Je dois montrer que si alors est inversible.

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Comme on a montré dans une des questions intermédiaires que l'image par [tes]\Phi[/tex] d'une matrice nilpotente est nulle, j'ai tenté d'utiliser ce résultat (avant je tournais vraiment en rond).
Mais j'ai un peu du mal à faire ça.

-Je détaille ce que j'ai fait pour mieux m'expliquer :

-Je vais essayer de montrer la contraposée : Si n'est pas inversible, alors


--Si n'est pas inversible, alors c'est que

J'introduis une base de (cet ensemble n'est pas réduit au singleton , donc on peut bien introduire une telle base)

et une base de (qui n'est pas réduit au au singleton , donc on peut bien introduire une telle base)


Alors est une base de


Je note , , ,

La famille est libre (car famille génératrice de composée de vecteurs)



Finalement je la complète en une base de


Comme et que , , ,


la matrice de dans les bases , s'écrit :




où désigne un bloc de i ligne, j ligne contenant que des 0, et est un bloc de r lignes, r colonnes ayant des 0 partout sauf sur la diagonale.



Si je ne me suis pas trompé sur la matrice, elle est de rang et triangulaire supérieur avec que des 0 sur la diagonale. Donc elle est nilpotente, donc on dispose de tel que


Comme et ont le même rang, elle sont équivalentes, et du coup je peux conclure (après des petits calculs) que


-Mon problème est dans la matrice : je ne suis pas du tout bon avec tout ce qui touche aux matrices et comme notre prof va vite sur ce chapitre, j'ai vraiment du mal à bien repérer les erreurs.
J'ai l'impression que cette matrice ne correspond pas en fait à dans les bases construites.



-Si vous avez eu le courage de tout lire, j'aimerais savoir si la matrice B est bien la matrice de dans les bases que j'ai construites.
En cours on a montré que toute application linéaire en dimension finie admet une matrice plutôt cool, mais qui n'est pas nilpotente, du type :



-Si vous n'avez pas lu ce que j'ai écrit, mais seulement l’énoncé, j'aurais bien besoin d'un coup de main, d'une indication pour bien (re)partir.
Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance

[mrif]

La méthode est correcte et je n'ai pas vu d'erreur.
Ma seule remarque est que tu as bien détaillé le début mais tu as expédié la fin.
Tu aurais pu donné, au moins, la relation qui lie les 2 matrices équivalentes A et M en utilisant les matrices de passage P et Q de la base canonique aux bases respectives et :
, ce qui te permet de conclure que puisque .

[jonses]

Merci pour ta réponse

La méthode est correcte et je n'ai pas vu d'erreur.
Ma seule remarque est que tu as bien détaillé le début mais tu as expédié la fin.
Tu aurais pu donné, au moins, la relation qui lie les 2 matrices équivalentes A et M en utilisant les matrices de passage P et Q de la base canonique aux bases respectives et :
, ce qui te permet de conclure que puisque .

En fait, j'ai expédié la fin parce que je la jugeais pas très importante :

comme est nilpotente et équivalente à on dispose d'une part de tel que et de tel que

Puis etc..

En fait, c'était surtout la matrice et les bases que j'ai construites qui m’inquiétaient, c'est pour ça que j'ai plus détaillé le début

[Ben314]

Salut,
Juste une remarqu : je n'ai pas lu toute ta preuve, mais elle semble clairement axée sur la notion de "matrices équivalentes" :
On dit que A et B sont "équivalentes" lorsqu'il existe deux matrices inversibles P et Q telles que .

Aprés, il y a un résultat trés simple à montrer, c'est que : "deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang" et c'est en fait un cas particulier de ce résultat que tu cherche à montrer avec ta matrice A de rang r<n dont tu aimerais montrer qu'elle est équivalente à une matrice nilpotente.

Tout ça pour dire que, à mon avis, ça irait plus vite de montrer le cas général, c'est à dire que :
- La relation "être équivalente" est une relation d'équivalence (évident)
- Toute matrice de rang r est équivalente à une matrice diagonale avec r fois 1 sur la diagonale puis n-r fois 0 (évident aussi en prenant des bases adaptées)

Et tu en déduit le fameux théorème "deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang" et donc que toute matrice non inversible est équivalente à une matrice nilpotente (de même rang).

P.S. Aussi bien, vu la fin de ton message, tu as déjà vu en cours la notion de matrices "équivalentes" ainsi que le théorème "deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang" et dans ce cas... il n'y a aucun calculs à faire... (à part peut-être de faire remarquer qu'il y a des matrice nilpotentes de tout rang r<n)

[jonses]

tu as déjà vu en cours la notion de matrices "équivalentes" ainsi que le théorème "deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang" et dans ce cas... il n'y a aucun calculs à faire... (à part peut-être de faire remarquer qu'il y a des matrice nilpotentes de tout rang r<n)

En fait, mon problème c'est que :

je sais bien que toute matrice de de rang est équivalente à la matrice dont tu parles, sauf qu'elle ressemble à ça (si je me goure pas) :




et cette matrice ne me convenait pas, parce qu'elle était pas nilpotente (le 1 de la ligne 1,colonne 1 reste toujours là peut importe le nombre de fois que je multiplie la matrice par elle-même)

Je me suis donc dit : mais si en cours on a fait une telle matrice, pourquoi ne peut-on pas écrire cette matrice avec les 1 non pas sur la diagonale, mais sur une partie supérieure par exemple (comme j'ai fait).

Comme j'ai vu que j'ai réussi à le faire, j'ai eu un ENORME doute sur mon résultat.

(tu as peut-être dû remarquer que je me remets énormément en doute lorsque j'obtiens quelque chose qui me permet de conclure un exo)


Voilà, en gros j'ai fait beaucoup de bruit pour rien ("pourquoi faire plus simple quand on peut faire plus compliqué ?")

[Ben314]

Donc ça veut dire que ce qui t'a un peu échapé c'est que la relation sur les matrices "être équivalente à" est... une relation d'équivalence donc que ton résultat disant que toute matrice de rang r est équivalente à une matrice diagonale avec r fois 1 puis n-r fois 0, il dit en fait que deux matrices de même rang sont équivalente.

Ce qui fait que, pour montrer que ta matrice est semblable à une matrice nilpotente, ben il suffit de trouver une matrice nilpotente de même rang qu'elle...

[jonses]

Je me suis encore plus ridiculisé ! :mur:

Je me rends compte à quel point j'atteins un niveau de débilité profonde : la matrice que j'ai (inutilement) construite est clairement de rang r, donc c'est fini (avec un peu de blabla après)....

Comme tu l'as bien dit, j'ai omis le fait que cette relation <<être équivalent à>> pour les matrices est "sympathique" (un de mes barbarismes) avec les rangs, en plus d'être une relation d'équivalence.