Rang et inversibilité d'une matrice

[kkk]

Bonjour,

Voici ce que j'ai écrit dans mon cours..mais je ne saisis pas du tout :

Soit A une matrice carrée

Si le système linéaire transcrit par AX=B admet une unique solution pour tout B, alor A est inversible. (Là ça va)

Or, un système de Cramer un système de n maximal

Donc si la matrice A est de rang n, alors le système est un système de Cramer et A est ineversible (là c'est le "donc" qui n'est pas du tout évident)

Merci
kkk

[maf]

A une matrice carrée nxn
A est inversible :
- si son déterminant est non-nul
- si toutes les colonnes et les lignes de A sont linéairement indépendantes
- si AX= B n'a qu'une seule et unique solution

L'espace des lignes de A forme un système d'équations AX = B
Un système de Cramer est un système qui nous fournit directement toutes les inconnues de ce système d'équation (AX = B) en utilisant le fait que toutes les lignes sont indépendantes.
Le système de Cramer utilise le déterminant de la matrice A comme diviseur, donc, s'il est nul, il y a comme un léger problème

Le système de Cramer nous donne une seule et unique solution !! --> revient à AX = B

Si rg(A)=n ... cela veut dire que les lignes et colonnes de A sont lin. indép.

[kkk]

Bonjour maf !
Et merci beaucoup.C'est déjà plus clair.
Par contre, il ya juste un truc que je ne connais pas...qu'entends-tu par déterminant d'une matrice ? Je dois certainement savoir mais sous un autre nom.
kkk

[maf]

Un petit lien ...

lien

[kkk]

ok !
j'ai encore une question un peu différente.
En fait dans un exercice, on me demande de déterminer la puissance n-ième d'une matrice.
Et ce, pour n supérieur ou égal 2.
Ce que je ne comprends pas c'est que, dans le corrigé il est écrit : "pour n supérieur ou égal à 2, cette somme ne contient en fait que les trois termes éventuellement non nuls correspondant à k=0,1,2"

Soit B=(A+N)^n
et à partir de n=3 N=0

Pourquoi ne part-on pas de k=2 jusqu'à n ?
merci
kkk