L'inverse d'une matrice 3x3

[Anae]

Bonjours a tous
Je suis bloquée dans deux questions de mon dns de mathématiques. (MPSI, première année de prépas scientifique)
*soit M(a,b) la matrice :
(a b b)
(b a b)
(b b a)
je viens de montrer que M(a,b) est inversible si et seulement si a est différent de b et a est différant de -2b
on me demande : "dans ces conditions, déterminer [M(a,b)]^(-1)?"
Je pensai utiliser la méthode de la comatrice :
[M(a,b)]^-1= 1/(det M) * transposé de la commatrice de M
Mais le résultat que je trouve ne conviens pas lorsque j'essaie de le vérifier avec A*A^-1=Id
Pouvez vous me donner votre résultat ainsi que la méthode que vous utilisez s'il vous plait?
*je viens de montrer que det(M(a,b)- c id3)= (b^2+a-c)(a-c-b)^2

il faut que je montre que ker(f-c id3) différent de {Oe} ssi c = a-b ou c= a+2b

le lien doit exister entre les deux questions car si je fais det(M(a,b)- c id3)=0 je trouve le résultat demandé. Mais quel est ce lien?

Merci d'avance
bisous et bonne fin de soiré
Anae

ps : f appartient a L(R^3) défini par M[f,B]=M(a,b)

[abel]

1/(a²+ab-2b²) *
|a+b....-b....-b |
|-b.....a+b...-b |
|-b....-b......a+b|

Methode : Maple....

Sinon, la methode pr faire ceci serait de diagonaliser mais ca doit pas etre au programme de sup...Sinon tu peux toujours faire par le pivot de gauss c'est ce qui marche le + je trouve car avc la comatrice on se plante tjs (enfin moi).
Il te suffit de partir de In et de M et de faire devenir M en In (par les operations elementaires) et d'appliquer au fur et à mesure ces opérations sur In qui deviendra donc M^-1

[Nuwanda]

Il y a une autre méthode que pour ma part je trouve très bien, mais c'est plutôt du programme de spé. Tu verras (en spé) que l'inverse de M est un polynôme en M. Ici si tu note J3 la matrice 3*3 où il y a que des 1, tu remarques que ta matrice c'est bJ3 + (a-b)I3.
Or tu remarque que J3²=3.J3, bilan toutes les puissances de la matrices sont dans le plan (I3,J3).
Tu cherche donc une solution en pJ3+qI3, et tu écris (pJ3+qI3)M = I3 et tu identifies, en remarquant que (I3,J3) est libre. J'ai fait le calcul et j'ai la joie de constater que je trouve pareil que nos deux collègues.
Evidemment tu apprécieras mieux cette méthode quand tu seras en spé et que tu connaîtras tout sur le polynôme caractéristique...
Pour ta deuxième question je comprend pas trop : le determinant est nul ssi le noyau ne se réduit pas à l'espace nul, donc...
Tchô