Matrice 3X3

par **Anicée** » 12 Avr 2010, 13:28

Bonjour,

j'ai une matrice A = 0 10 3
10 0 3
3 3 3
On me demande de trouver les valeurs et vecteurs propres de A

pour cela j'effectue det(A-XI): (0-µ) 10 3
10 (0-µ) 3
3 3 (3-µ)

j'obtiens ensuite (3-µ).[(0-µ).(0-µ).100] = 300µ²-100µ³

est-ce correct jusqu'ici?
si oui arrivée à cette solution que fais-je pour trouver les valeurs propres de µ? Horner?

par **Nightmare** » 12 Avr 2010, 13:31

Salut,

quel est le rapport entre les valeurs propres de A et le déterminant de A-XI? A ton niveau, le but quand on apprend une méthode n'est pas de la retenir par coeur mais de la comprendre. Ici, tu ne sembles pas comprendre ce que tu fais, et le pire et qu' apparemment tu ne connais même pas la méthode par coeur...

par **Anicée** » 12 Avr 2010, 13:37

oui effectivement, je n'ai pas de cours théorique pour m'appuyer pour faire les exercices donc je cherche sur internet à comprendre mes exercices et essaye de mémoriser la méthode même si ce n'est pas la meilleure solution.

et de ce qui est pour la question:
quel est le rapport entre les valeurs propres de A et le déterminant de A-XI?
pour moi, lorsque j'effectue une matrice pour trouver ces valeurs propres j'utilise le det, mais je peux me tromper évidemment

par **Anicée** » 12 Avr 2010, 13:51

plus personne?

par **Joker62** » 12 Avr 2010, 14:13

Chercher les valeurs propres ça revient en fait à chercher un élément Lambda de R tel qu'il existe un vecteur v non nul de sorte que A.v = Lambda.v
C'est à dire que v appartient au noyau de A-Lambda.Id. Ainsi ce noyau n'est pas réduit au vecteur nul et donc la matrice A-Lambda.Id n'est pas inversible.

Mais on sait qu'une matrice n'est pas inversible si et seulement si son déterminant est non nul. C'est pour ça qu'on instaure le polynôme caractéristique et c'est pour ça que les valeurs propres sont exactement les racines de ce polynôme. Donc essaye de trouver les racines en factorisant ton polynôme.

par **Anicée** » 12 Avr 2010, 16:35

Donc j'ai factorisé et j'obtiens en faisant
300µ²-100µ³
<=> µ²(300-100µ) = 0 <=> µ = 0 et 3
est-ce correct? Ne devrai-je pas obtenir 3 valeurs propres pour une matrice 3X3?

par **Nightmare** » 12 Avr 2010, 16:40

Pas automatiquement, par contre, elle ne peut pas en avoir plus que 3 ! (Pourquoi d'ailleurs?)

par **Anicée** » 14 Avr 2010, 14:32

parce que c'est une matrice 3X3?

par **Ben314** » 14 Avr 2010, 15:24

Oui, c'est ça.
Il ne te reste plus qu'a résoudre les deux systèmes correspondant à AX=0X et à AX=3X pour trouver les vecteurs propres associés à tes deux valeurs propres 0 et 3.

Edit : aprés vérification, je pense que tu t'est trompé dans ton déterminant : les valeurs propres sont -10 ; 1 et 12...

par **Anicée** » 15 Avr 2010, 12:56

pourtant je viens de refaire l'exercice et je tombe à nouveau sur 3 et 0, où est mon erreur? :s

par **Ben314** » 15 Avr 2010, 13:05

Comment as tu calculé le déterminant

?
Par exemple, il est clair que, lorsque

, le déterminant est nul vu que les deux premières lignes sont identiques...

par **Anicée** » 15 Avr 2010, 13:13

A=
0 10 3
10 0 3
3 3 3

J'ai pris la 1er ligne
donc
-10 (30-9) + 3( 30)= 300

mnt j'arrive à 300 ...

par **Anicée** » 15 Avr 2010, 13:16

J'ai l'impression de tout embrouiller ... :s

par **Ben314** » 15 Avr 2010, 13:28

Tient, comme j'ai 5mn, je vais te le calculer en essayant de faire le tour des opérations que l'on peut faire :

Cela ne change pas le déterinant d'ajouter à une ligne (resp. une colonne) un certain nombre de fois une autre ligne (resp/ colonne). Ici, si je retranche la deuxième ligne à la première, j'obtient :

On peut factoriser un élément qui apparait dans toute une ligne ou toute une colonne. Ici, par exemple, on a :

Ici, le plus simple serait évidement d'ajouter la première colonne à la deuxième pour faire apparaitre un 0, mais, pour varier, on va développer ce determinant par rapport à la troisième colonne :

Enfin on développe les petits déterminants 2x2 à l'aide de la formule bien connue :

:

Enfin, il faut factoriser pour avoir les valeurs propres :

par **Anicée** » 15 Avr 2010, 13:52

merci beaucoup j'ai bien compris la méthode,
mais j'ai une derniere question avant de poursuivre l'exercice, pourquoi dans un de mes exercices sur les matrices j'ai du aussi calculer les valeurs propres de A:
1 2 -4
4 -1 0
0 0 2

je fais bien évidemment
(1-µ) 2 -4
4 (-1-µ) 2
0 0 (2-µ)

et ensuite directement : (2-µ)[(1-µ)(-1-µ)-(4x2)]
ensuite factorisation et valeur propre

pourquoi je n'ai pas du passer par les autres étapes de l'autre calcul?

par **Anicée** » 15 Avr 2010, 14:01

et je voulais savoir aussi si je pouvais utiliser le Produit d'Hadamard pour effectuer le produit matriciel de 2 matrices 3X3 (A et B) et si oui, est-ce normal que j'obtienne le meme résultat lorsque je fais AB et BA ( car associatives)

par **Ben314** » 15 Avr 2010, 14:03

Il faut bien te dire que les diff"rentes méthodes de mon post précédent ne sont pas obligatoire.
On pourrait systématiquement développer ou bien systématiquement faire de combinaisons de lignes ou bien systématiquement faire des combinaisons linéaires sur les colonnes.

Ce qu'il faut ce dire, c'est que, comme tout ce qui est "systématique", eh ben... c'est pas malin du tout.
La "bonne" méthode, c'est de bien regarder la matrice puis, en fonction de la "tête" qu'elle a, employer telle ou telle méthode...

Avec la matrice A de ton dernier post, y'a pas à hésiter : on développe par rapport à la troisième ligne vu qu'il y a déjà deux 0 dedans.
On trouve immédiatement... ce qu'il faut.

par **Ben314** » 15 Avr 2010, 14:10

Pour le "produit d'Hadamard", y'a fallut que j'aille chercher sous google pour savoir ce que c'était....
En ce qui me concerne, je m'en suis jamais servi... (peut-être pour des casse tête) vu que je vois pas trop à quelle structure mathématique interessante ça correspond.

Résumé : à moins que tu ne fasse des maths appliqués à un truc un peu bizare ou bien qu'il y ait un truc précis dans l'énoncé qui dit de faire autrement, le produit de deux matrices, c'est toujours le produit ligne par colonne qui correspond à la composition des applications linéaires.

Ce produit est associatif, ce qui veut dire que A(BC)=(AB)C
mais il n'est quasi jamais commutatif : AB est différent de BA.

P.S. t'en a entendu parler où du "produit d'Hadamard" ?

par **Anicée** » 15 Avr 2010, 15:41

J'en ai entendu parler à mon cours de math en BA1 bioingénieur pour les matrices,
en tout cas merci beaucoup, ça m'a énormément aidé,
c'est vraiment bien d'avoir des forums d'aide comme ici

par **Ben314** » 15 Avr 2010, 16:20

Bon, fait gaffe quand même, j'y connait absolument rien du tout en "bioingénieur" donc peut être que le "produit d'Hadamard" y a des applications... (tu demendera à to prof. si tu y pense)

C'est (évidement) pas parce que je sais pas à quoi ça peut servir que ça sert à rien....

P.S. Pour ceux qui ont la flemme de chercher sous Google : le "produit d'Hadamard" ça consiste à faire le produit "terme à terme" des deux matrices.
Si y'en a qui savent à quoi ça peut servir en "BA1 bioingénieur" ben... y peuvent le dire...

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