Intersection

[zork]

Bonjour,

Imaginons que j'ai 2 idéaux

déjà pour que soit maximal il faut que p et q soit irréductible?

d'autre part comment calculer vous?


merci

[Ben314]

Des idéaux, certes, mais de quel anneau ?

[zork]

dans

[Ben314]

Pour la question 1), c'est quoi l'idéal engendré par P=XY et Q=X-1 ?

[zork]

j'aurai dis I=(Y,X-1)

[Ben314]

Oui : il est donc maximal alors que XY n'est pas vraiment irréductible... :lol3:

[zork]

dans ce cas comment faire? j'ai plus d'idées

[Ben314]

Comment faire quoi ?

Si c'est pour la deuxième question, j'en sais rien : je sais pas s'il y a des méthodes générales pour calculer l'intersection de deux idéaux dont on connait des générateurs (dans un anneau non euclidien) : peut être que oui...

Aprés, si tes deux idéaux sont maximaux, là, ça semble fastoche : ils sont forcément de la forme I=(X-a1,Y-b1) et I2=(X-a2,Y-b2) et, si a1 est distinct de a2 ainsi que b1 de b2, l'intersection, ça va être engendré par (X-a1)(X-a2) ; (X-a1)(Y-b2) ; (X-a2)(Y-b1) et (Y-b1)(Y-b2) (à vérifier...)

[zork]

mais quelles conditions pour que soit maximal

[Ben314]

mais quelles conditions pour que soit maximal

Sans hypothèses supplémentaires, c'est très clairement faux :

Si I1=(X,Y) et I2=(X,Y), ça m'étonnerais fort que l'intersection soit engendrée par X² et Y² ...

[Ben314]

Les idéaux maximaux, c'est les (X-a,Y-b) donc a mon avis, étant donné deux poly. P et Q, pour que l'idéal engendré par P et Q soit de cette forme, je pense qu'il faut et il suffit que P et Q n'aient qu'un seul zéro commun (le point (a,b) en fait)

[zork]

je viens de m'apercevoir qu'avant de regarder les idéaux maximaux, j'aurai dû regarder les idéaux premiers.

du coup cette fois, quelle condition pour que (p,q) soit un idéal premier?

[Ben314]

Je... sais pas trop... (s'il y a des conditions simples sur P et Q)

Regarde là, tu trouvera peut-être ce que tu cherche...