Intersection infinie d'intervalles

[CompuTux]

Bonjour,

Cet été, je reprends mes fondamentaux (logique, raisonnements et théorie de ensembles) pour mieux assoir mes études.

Je fais quelques exercices tirés de ce pdf : http://exo7.emath.fr/ficpdf/ficall.pdf

J'en suis à l'exercice 36 qui me laisse perplexe... En effet, il s'agit de montrer qu'une intersection infinie dénombrable d'intervalles est un intervalle (éventuellement vide ou réduit à un point) (*).

Comment montre-t-on ce résultat (*)?

De plus, j'ai calculé que puis j'ai tenté de le démontrer en admettant ce résultat (*) comme lemme. Je bloque cependant encore.

Je veux raisonner par l'absurde :
Je suppose que où .
Je pose pour tout , .
On a donc .
Puis je dis qu'il existe alors un rang de la suite tel que .
J'obtiens alors , ce qui est absurde puisque .
J'en conclue que .

Voilà, j'ai tenté un raisonnement mais je pense qu'il n'est pas très juste et valide. De plus, je trouve qu'il fait appel à des notions d'analyses sur les réels et les suites et ça me fait bizarre de faire appel à elles dans un exercices sur les ensembles.

Est ce que quelqu'un pourrait me guider ?

[Matt_01]

Le passage par l'absurde n'est pas vraiment nécessaire (et j'essaierai toujours d'éviter l'utilisation de l'inf/sup tant que c'est pas nécessaire).
Ici l'important est de savoir que 1/n^2 tend vers 0 et donc quelque soit e>0, il existe i tq 3Si on prend x>3, alors en utilisant e=x-3, x n'appartient pas à I (il existe i tq 3