Démonstration intersection infinie égale à 0

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Kengosky
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Démonstration intersection infinie égale à 0

par Kengosky » 28 Aoû 2017, 16:21

Bonjour, je dois montrer que:

Je sais que je dois montrer par double-inclusion mais je ne sais pas comment faire.
Merci de votre aide



arnaud32
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Re: Démonstration intersection infinie égale à 0

par arnaud32 » 28 Aoû 2017, 16:34

tu as pour tout n donc 0 est dans l'intersection
reciproquement si x est dans l'intersection, pour tout n, |x|<1/n et donc x=0

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zygomatique
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Re: Démonstration intersection infinie égale à 0

par zygomatique » 28 Aoû 2017, 22:14

salut

on peut aussi montrer que tout réel non nul de l'intervalle [-1, 1] n'appartient pas à au moins un intervalle du type ]-1/n, 1/n[
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

pascal16
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Re: Démonstration intersection infinie égale à 0

par pascal16 » 28 Aoû 2017, 23:19

pour la seconde partie de l'inclusion, il y a une autre manière de rédiger :
soit x non nul.
la suite définie pour n non nul par Un= 1/n est strictement décroissante vers 0
il existe n tel que |x| < 1/n
donc x n'est pas dans l'intersection

soit au final :
si x=0, il est dans l'intersection
si x <>0, il n'est pas dans l'intersection
par disjonction de cas, on a que seul 0 est dans l'intersection.

 

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