La preuve que je connaissait :
Théorème de Helly:Si on a une famille de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!\geq\!d\!+\!1)
convexes d'un espace affine
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathcal E)
de dimension
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?d)
telle que toute intersection de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?d\!+\!1)
convexes de la famille soit non vide alors l'intersection des
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
convexes de la famille est non vide.
Preuve :On procède par récurrence sur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
.
Pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!=\!d\!+\!1)
, il n'y a rien à démontrer.
On suppose donc le résultat vrai pour un entier
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!\geq\!d\!+\!1)
donné et on se donne une famille
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(C_1,C_2,...,C_{n+1}))
de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!+\!1)
convexes telle que l'intersection de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?d\!+\!1)
quelconques d'entre eux soit non vide.
Par hypothèse de récurrence, pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?i\!\in\!\{1..n\!+\!1\})
, l'intersection de tout les convexes sauf
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?C_i)
est non vide donc il existe un point
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A_i)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A_i\!\in\!C_j)
pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?j\!\not=\!i)
.
Comme la famille
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(A_1,A_2,...,A_{n+1}))
contient
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!+\!1\!\geq\!d\!+\!2)
points, on peut appliquer le théorème précédent qui nous dit qu'on peut partitionner
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\{1..n\!+\!1\})
en deux parties non vides
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?I_1)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?I_2)
de façon à ce que l'enveloppe convexe de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\big(A_i\big)_{i\in I_1})
et celle de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\big(A_i\big)_{i\in I_2})
aient au moins un point commun
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\Omega)
.
Or, si on prend un des convexes
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?C_j)
de la famille, il contient tout les points
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A_i)
sauf au plus un (à savoir le point
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A_j)
) donc il contient tout les points d'une des deux familles
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\big(A_i\big)_{i\in I_1})
ou bien
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\big(A_i\big)_{i\in I_2})
et, comme il est convexe, il contient l'enveloppe convexe de la famille en question et, dans les deux cas, il contient en particulier le point
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\Omega)
.