Intégration par partie.

[lisachatroux]

Bonjour,

Alors j'ai un exercice à faire : je dois montrer la convergence de l'intégrale de tcarré x cos(nt)dt de zéro à pi.
Le prof nous a dit qu'il fallait faire une intégration par partie mais je ne sais pas du tout ce que c'est (j'ai manqué une année de ma licence)

Lisa.

[mathelot]

Bonsoir Lisa,


Soient deux fonctions u et v. Leur produit est une fonction notée définie par:

exemple:



intégration par parties (cours)

On se donne un intervalle [a,b] avec a<b deux réels et deux fonctions u et v de classe C1 sur [a,b] (i.e dérivables à dérivées continues)

il vient la dérivée du produit.



donc une primitive de la fonction sur [a,b] est le produit

d'où


l'intégrale étant une forme linéaire:






u(b)v(b)-u(a)v(a) s'appellent "les termes de bord" car ils se calculent aux bords de l'intervalle [a,b] d'intégration.

exemple:

e est la base des logarithmes:

[Kekia]

Bonjour,
mathelot a tout à fait raison bien sur mais si tu n'as jamais vu d'intégration par partie, je ne suis pas sure que tu y arrives juste avec le cours.
Si tu es dans le brouillard, tu peux consulter https://www.youtube.com/watch?v=vNQeSEb2mj8 où on apprend à faire une intégration par parties très proche de la tienne, à toi de voir ce que le facteur n va changer et n'hésite pas à demander si besoin.

[mathelot]

re,
la vidéo de kekia est très bien. Je te conseille de la visionner avant de lire ma partie de cours.

Autre exemple d'intégration par parties:



on pose







savoir-faire:on intègre une fonction u , on écrit le terme de bord et ensuite on garde u et on dérive l'autre fonction v.

[mathelot]

On doit intégrer par parties l'intégrale suivante:



On pose . Il s'agit de déterminer u et v'

[lisachatroux]

Coucou @mathelot, effectivement je pense que j'ai besoin de regarder la vidéo de @Kekia.

Je ne comprends pas ici comment tu sais que u'=cos(nt) et v=tcarré ?

[mathelot]

Coucou @mathelot, effectivement je pense que j'ai besoin de regarder la vidéo de @Kekia. oui

Je ne comprends pas ici comment tu sais que u'=cos(nt) et v=tcarré ?

On le sait car on le suppose. Ceci pour être en accord avec les hypothèses de l'intégration
par parties:

ça doit commencer par

si on posait , u vaudrait , ce qui compliquerait la fonction à intégrer,
alors on pose , ce qui, après intégration par parties, va diminuer l'exposant sur t, mais surtout faire apparaitre un scalaire 1/n.

Si l'on pose ça donne



avec
forme indéterminée
quand n tend vers l'infini.

[catamat]

Bonjour

D'une façon générale on dérive ce qui devient plus simple après dérivation (une puissance de x en général mais aussi lnx, réciproque des fonctions trigo...) et on intègre ce qui donne quelque chose de pas trop compliqué , par exemple , cos(ax+b), sin(ax+b), constante, puissance de x... pour parler des cas les plus fréquents.

Donc si on a un log et une puissance, on dérive le log et on intègre la puissance.
Si on a une expo et une puissance , on dérive la puissance et on intègre l'expo.
Après il faut s'adapter sachant que si on fait le mauvais choix, on peut toujours changer... il n'y a en général que deux choix possibles.

Attention toutefois pour se "débarrasser" d'une puissance de x (ou de t dans votre cas), il faut souvent faire plusieurs intégration par parties successives jusqu'à ce que la dérivée donne une constante.

[lisachatroux]

Alors j'ai essayé quelque chose mais je ne sais pas si c'est ça :

http://www.noelshack.com/2022-05-7-1644 ... 191717.jpg

[mathelot]

Bravo pour ton intégration par parties!!

On a:




les termes de bord sont nuls car
il ne reste plus qu'à majorer par le terme général d'une suite qui tend vers zéro avec n

[lisachatroux]

Super merci beaucoup @mathelot !