Intégrale et somme

[zelda007]

Bonjour,

Soit I_p,q = Intégrale de 0 à 1 de [t^p(1 - t)^q] dt

J'ai reussi à montrer que I_p,q = (p!q!) / (p + q+ 1)!

On me demande maintenant de montrer que :

Somme pour k = 0 à q de (k parmi q) (-1)^k / (p + k + 1) = (p!q!) / (p + q+ 1)!

Cependant je ne vois pas le rapport avec l'intégrale de départ...

Merci

[Sa Majesté]

Exprime (1 - t)^q comme somme avec la formule (a + b)^n

[zelda007]

Donc,

Int de 0 à 1 de [t^p(1 - t)^q] dt

= Int de 0 à 1 de [t^p * Somme(k=0 à q) (k parmi q) (-1)^k * t^k] dt

= Int de 0 à 1 de [Somme(k=0 à q) (k parmi q) (-1)^k * t^p * t^k] dt

Par linéarité de l'intégrale :

= Somme(k=0 à q) (k parmi q) (-1)^k * [Int de 0 à 1 de t^(p+k)] dt

= Somme(k=0 à q) (k parmi q) (-1)^k * [1/(p+k+1)t^(p+k+1)] entre 0 et 1

= Somme(k=0 à q) (k parmi q) (-1)^k * 1/(p+k+1)

Et c'est bon :) Sauf erreur ^^

Merci beaucoup :we: