Intégrale de Riemann avec définition

[Fractalus]

Bonjour,
j'avais deux questions concernant les intégrales de Riemann.
QUESTION 1
Montrer que f(t) = e^t est intégrable (au sens de Riemann) sur [0,1] et évaluer intégrale entre 0 et 1 de f(t) dt
SOLUTION:
Ce qu'il faut faire: verifier que la sous-estimation et la surestimation sont identiques verifient "l'integrabilite" de f(t) et la reponse a ses estimations est la reponse a l'integrale.

En faisant la sous-estimation j'arrive a (e-1). L'astuce pour resoudre est d'utiliser une serie geometrique.

Cependant pour la surestimation je n'arrive pas a comprendre comment elle fonctionne (la serie geometrique). Habituellement, la serie commence a 0 et se termine avec n-1.

Voila ce que j'ai fait:

S(f,Pn) = sommation (i=1 a n) f (i/n) ({i+1}/n - i/n)
= (1/n) (e^(1/n) + e^(2/n)+...+ 1)

comment fonctionne la serie geometrique dans ce cas?


QUESTION 2:
Par exemple: lim sommation (k=1 a n) de (1/[n+k])
n---> infini
Je ne comprends pas les etapes 2 et 3, j'aurais besoin d'explications svp.

= lim 1/n * sommation (k=1 a n) 1/ (1+k/n)
n---> infini

= integrale 0 a 1 de 1/ (1+x) dx Pourquoi est equivalent a la sommation de l'etape 2?

Merci,
Fractalus

[Nightmare]

Salut,

Pour la série géométrique, il y a une formule générale, tu ne la connais pas ?

Pour ta deuxième question, tu as écrit la réponse dans ta question 1... S(f,Pn) tend vers l'intégrale de f sur [0,1]. Dans le cas de f(x)=1/(1+x), que vaut S(f,Pn) ?

[Fractalus]

Je ne comprends pas pourquoi il faut sortir le 1/n justement. Pourquoi est-ce que ça doit être de cette forme là c'est surtout ça que je ne comprends pas.