Intégrale de Lebesgue

[Ncdk]

Bonjour,

Je pense que certains vont trouver ça bête comme question mais honnêtement, je ne comprends pas les différences entre Intégrale de Lebesgue et Intégrale de Riemann, car au final si on doit calculer les intégrales, dans la majeur partie des cas, on se retrouve toujours à calculer une intégrale comme avec Riemann. Pour ça que je me demande qu'est-ce qui fait la force de cette intégrale au sens de Lebesgue ?

[mathelot]

l'indicatrice des rationnels est intégrable Lebesgue et pas Riemann.

Chez Lebesgue, on mesure des ensembles images , chez Riemann, on mesure
des sous-ensembles de l'ensemble de départ de la fonction.

La force de l'intégrale de Lebesgue est le théorème de convergence dominée.

Maintenant, il faut employer l'intégrale de KH Kurzweil-Henstock

[zygomatique]

salut

pour "imager" ce que dit mathelot :

si m est la mesure de Lebesgue alors et f une fonction alors en notant R(f) et L(f) les intégrales de Riemann et de Lebesgue de f alors :





en gros ....

:lol3:

[Ncdk]

Ok, donc si je comprends rien, grosso modo, avec Riemann on intègre suivant les x.
Et pour Lebesgue, on intègre suivant les y ?

[zygomatique]

pas du tout ....

dx ou dy c'est la même mesure ....

dans le deux cas on mesure des ensembles ... sauf qu'avec Riemann on ne peut pas tous les mesurer ou du moins beaucoup moins qu'avec Lebesgue ....

[SLA]

Maintenant, il faut employer l'intégrale de KH Kurzweil-Henstock

Dans ce forum , le même discours a été tenu. Cependant il s'avère que la topologie "naturelle" sur les fonction KH intégrable n'en fait pas un espace complet.

Donc pour calculer des intégrales, ça peut être sympa. Pour l'analyse fonctionnelle, c'est la mort. Cela contribue sûrement à son manque de succès.

Cordialement