Intégrale impropre

[kaito974]

Bonjour a tous,voila mon éxercice
Donner la nautre de l'intégrale impropre suivante :

intégégrale sur [0,1] de : ln(t-t²)/(1+t²)dt

on a : ln(t-t²) equivalent a ln(t) en 0 et [0,1] ln(t)dt converge, à partir d'ici peut-on en déduire que intégégrale sur [0,1] de : ln(t-t²)/(1+t²)dt converge aussi ?

dans la correction il traite l'intégrale de [0,1/2] et de [1/2,1], je n'ai pas compris pourquoi ?

[alben]

dans la correction il traite l'intégrale de [0,1/2] et de [1/2,1], je n'ai pas compris pourquoi ?

Il n'y a pas qu'en 0 qu'il y a problème. Lorsque t->1 aussi

[kaito974]

quand t -> 1 ln(t-t²) equivault a ln(1-t)

donc se qu'il faut faire c'est couper l'intervalle [0,1] en 2 et traiter les 2cas ou t tend vers 0 et t tend vers 1 ?

[Pouick]

TOut a fait ^^

[kaito974]

daccord merci c'est se qui me genait le plus je me demandai comment est-ce qu'il avait coupé l'intervalle alors qu'on peut le couper comme on veut?

[Pouick]

oui si ca te fait plaisir tu peux prendre ]0,Pi/4] [Pi/4,1[ ^^

[kaito974]

okok merci^^

[charif]

bonjour:
le premier point est de vérifier que la fonction est continue sur l'intervalle d'étude ensuite la positivité ..... et pour l'éviter il faut travailler toujours avec le module c'est mieux...(pour la simple raison une fonction est integrable si et seleument si son module est integrable).
dans notre cas la fonction est continue sur l'intervalle ouvert ]0,1[....( il faut travailler avec le module)....ici on observe qu'il ya un probleme au voisinage de 0 et 1 d'ou il faut utiliser la relation de chasles et par suite coupér l 'intervalle d'étude on deux parties par exemple ]1,c[ et ]c,1[ avec c appartient a ]0,1[ ( et pas forcemment 1/2)......
on voi qu'au voisinage de o le module de la fonction est equivalent a la valeur absolue de ln(x) qui est intergrable au viosinage de 0 ...on utilisant la regle de cauchy ( il existe un reel inferieure strictement a 1 tel que la limite de t a la puissance ce reel qui multiplie la valeur absolue de ln(x) admet une limite finie au voisinage de 0)....et ceci est vraie....donc integrable au viosinage de o ..
il reste le probleme en 1...... de la meme facon on cherche un equivalent :on aura 1/2*la valeur absolue de ln(1-x)....ici on utilise aussi la regle de cauchy au voisinage d'un reel qui est 1 et non pas au voisinage de 0)..........
et donc il existe un reel inferieure strictement a 1 et la limite de lt-1l a la puissance ce reel *la valeur absolue de {1/2*ln(1-t)} est c'est bien une limite finie au voisinage de 1) donc la fonction integrable au viosinage de 1 et par suite integrable sur [0,1]..............
voici un plan d'étude :
premierement ; on cherche un equivalent simple du module de la fonction au voisinage de c ( c appartient a R UNION + ou - l'infinie extrimite de lintervalle)..si l'equivalent est de type fonction de reiman on peut conclure si non on utilisent la regle de domination ou bien la regle de cauchy ....

[Pouick]

et pour l'éviter il faut travailler toujours avec le module c'est mieux...(pour la simple raison une fonction est integrable si et seleument si son module est integrable).

Ce qui est sur c'est que si en module l'integrale converge alors l'integrale de la fonction converge.. cependant, inversement ce n'est pas forcement le cas !
enfin c juste histoire de ^^

[kaito974]

vous parlez d'intégrale étant absolument convergente c'est bien sa

[kazeriahm]

oui c'est ca

mais de toute facon ici l'intégrande f est de signe constant (négatif) donc f est intégrable ssi |f| l'est

[charif]

bonjour :
moi j'ai utilisé l'équivalence au sens de la définition [une fonction est integrable si son module est integrable]..dans sa géneralité...
c-a-d...pour les fonction ayant les valeurs dans un K (COMPLEXE ) tu trouvera donc une équivalence ....et on ce qui concernent les réells on les applles les semi-convergentes.(les fonctions integrables sur un intervalle et dont le module est une fonction non integrable)...
et d'ailleurs j'ai utiliser dans la démenstrations la 2 implication......

[Pouick]

vivivi ^^
Ok chef !