Intégrale impropre d'une fonction impaire

[flashnext]

Bonjour,

Juste une petite question métaphysique : pourquoi dit-on qu'une intégrale de -a à a des f(x)dx, f impaire, éventuellement où F, une primitive de f, tend vers un infini en a, ne veut "rien dire" ? Alors qu'intuitivement, on aurait plutôt tendance à affirmer qu'elle vaut 0.

Par exemple, pourquoi l'intégrale de -00 à +00 des xdx ne vaut pas 0 ?

Merci par avance !

[Elias]

Parce que l'intégrale de xdx de -oo à +oo n'est pas la limite quand a tend vers +oo de l'intégrale de -a à a de xdx.

De facon general, si f est une fonction continue sur R, l'integrale de -oo à +oo de f(x)dx est lorsqu'elle existe la limite quand X tend vers -oo et Y vers +oo de l'integrale de f(x)dx entre X et Y.
Lorsque cette limite existe, elle coincide avec lim +oo ( integrale entre -a et a de f(x)dx).
La réciproque est fausse, si cette dernière limite existe, alors on l'appelle simplement valeur principale de f je crois et ça n'implique pas que [ lim ( X -> -oo, Y -> +oo) integrale de f(x)dx entre X et Y ] existe. Le contre exemple est celui que tu viens de donner.


Désolé pour l'écriture des intégrales qui ne sont pas en latex, je suis sur mon tél.

[Ben314]

Salut,
Pour une raison on ne peut plus simple : c'est que la convergence des intégrales improrpres, ben aussi surprenant que ça puisse te paraitre, il y a une définition.
Et qu'en ce qui concerne par exemple , (avec continue sur R) cette définition, elle te dit que cette intégrale (impropre) est dite convergente lorsque les limites et existent toutes les deux.

Après, bien entendu, rien ne t'empêche d'inventer une autre définition, mais je pense que tu comprendra parfaitement qu'il va falloir donner un nouveau nom au nouveau truc inventé et pas en utiliser un qui a déjà une signification dans le "langage courant" des mathématiques.

[flashnext]

Salut,
Pour une raison on ne peut plus simple : c'est que la convergence des intégrales improrpres, ben aussi surprenant que ça puisse te paraitre, il y a une définition.
Et qu'en ce qui concerne par exemple , (avec continue sur R) cette définition, elle te dit que cette intégrale (impropre) est dite convergente lorsque les limites et existent toutes les deux.

Après, bien entendu, rien ne t'empêche d'inventer une autre définition, mais je pense que tu comprendra parfaitement qu'il va falloir donner un nouveau nom au nouveau truc inventé et pas en utiliser un qui a déjà une signification dans le "langage courant" des mathématiques.

Merci à tous les deux !
C'est vrai aha… Le problème de la définition de la CV d'une intégrale impropre en ses deux bornes, c'est qu'on laisse aucune chance aux infinis de se compenser, du coup c'est étrange de l'avoir défini comme ça, et pas avec une méthode analogue à l'integrale de -a et a évoquée par Trident2. En tous cas ça m'éclaire, merci !

[Ben314]

... du coup c'est étrange de l'avoir défini comme ça, et pas avec une méthode analogue à l'integrale de -a et a évoquée par Trident2. En tous cas ça m'éclaire, merci !

Pour voir si c'est vraiment aussi "étrange" que ça et... comme punition...
Trouve moi une fonction continue de R->R telle que, si on prenait comme définition alors les deux intégrales ainsi que existeraient toute les deux, mais ne seraient pas égales (et/ou trouve un exemple où l'une des deux existe, mais pas l'autre)

Ensuite, tu (re)réfléchira à la question de savoir si la définition qu'on a choisie de prendre est "étrange" ou pas.

[flashnext]

... du coup c'est étrange de l'avoir défini comme ça, et pas avec une méthode analogue à l'integrale de -a et a évoquée par Trident2. En tous cas ça m'éclaire, merci !

Pour voir si c'est vraiment aussi "étrange" que ça et... comme punition...
Trouve moi une fonction continue de R->R telle que, si on prenait comme définition alors les deux intégrales ainsi que existeraient toute les deux, mais ne seraient pas égales (et/ou trouve un exemple où l'une des deux existe, mais pas l'autre)

Ensuite, tu (re)réfléchira à la question de savoir si la définition qu'on a choisie de prendre est "étrange" ou pas.

Exemple où l'intégrale de -a à a des f(x)dx existe et pas celle des f(x+1)dx : on peut prendre l'identité de R dans R (et en fait, j'ai l'impression qu'une bonne partie des fonctions impaires vérifient ça aussi). (ça tient au fait que si f:x->f(x) est impaire, g:x->f(x+1) peut ne pas l'être, ce qui donne des lieu à des problèmes, comme celui que tu pointes).

Effectivement "ma définition" est mauvaise !
Finalement, la définition qu'on a choisie n'est pas "étrange", elle est bien plus rigoureuse, mais du coup j'ai l'impression qu'elle est aussi assez restrictive (même si je ne connais probablement pas assez de maths pour argumenter sur des trucs compliqués avec l'infini, notamment où il y a deux infinis qui ne sont pas -a et a. En fait je ne vois pas quelle définition il faudrait prendre, mais je ne trouve pas très satisfaisant qu'une intégrale de -00 à +00 des f(x)dx, f impaire, puisse valoir autre chose que 0).

En tous cas merci !

[Lostounet]

Si tu fais du f(x+1) ce n'est plus une fonction impaire mais avec ce changement de variable y=x+1 c'est comme si tu décalais ta fonction vers la gauche (ordonnée à l'origine 1 et s'annulle en -1.

Donc pour garder la même logique, tu as quand même un centre de symétrie de cette courbe le point (-1;0) ( une fonction impaire est le cas particulier où ce centre de symétrie est l'origine)... est-ce qu'alors on a compensation si on centre l'intégration en -1?

On peut toujours se ramener à l'origine ..

[Ben314]

...j'ai l'impression qu'elle est aussi assez restrictive (même si je ne connais probablement pas assez de maths pour argumenter sur des trucs compliqués avec l'infini, notamment où il y a deux infinis qui ne sont pas -a et a. En fait je ne vois pas quelle définition il faudrait prendre, mais je ne trouve pas très satisfaisant qu'une intégrale de -00 à +00 des f(x)dx, f impaire, puisse valoir autre chose que 0).

C'est tout à fait ça : elle est effectivement bien plus restrictive que celle que tu propose.
C'est un choix qui a été fait (donc qu'on peut parfaitement critiquer) de façon à ce que les théorèmes classiques qu'on utilise pour faire du calcul d'intégration restent valable pour ce type d'intégrale.
Avec le choix que tu propose, le fait que l'intégrale de -oo à +oo de f(x) ne coïncide pas avec celle de f(x+1) signifie clairement que tu ne peut plus faire de changement de variable et c'est évidement très très ennuyeux au niveau des calculs.
Pour dire exactement la même chose en un sens plus "naïf", pour "représenter géométriquement" l'intégrale d'une fonction, il faut tracer la courbe de f, l'axe des x et deux droites verticales pour représenter les bornes, mais il n'est pas utile de représenter l'axe des y.
Donc pour "représenter" l'intégrale de -oo à +oo de f, on aimerait qu'il suffise de représenter la courbe de f et l'axe des x mais pas l'axe des y. Or, si on ne représente pas l'axe des y, les fonctions x->f(x) et x->f(x+1) ont exactement la même représentation.
Tout ça pour dire que, personnellement (mais ça fait longtemps que je suis habitué à cette définition), ce qui me semblerait "étrange", c'est que l'aire de la "surface sous la courbe" puisse dépendre de l'endroit où est situé l'axe des y, c'est à dire que l'intégrale soit nulle lorsque (0,0) est centre de symétrie de la courbe, mais qu'elle ne soit pas forcément nulle lorsque (0,1) est centre de symétrie.

D'ailleurs, tout cela conduit naturellement à la question suivante :
Si est une fonction continue (éventuellement plus ou moins régulière que ça) telle que, quelque soit la limite existe et soit égale à un certain indépendant de .
Est ce que cela implique que existe ?
Qu'est ce que tu (et/ou les autres...) en pense ?

[flashnext]

- Effectivement c'est étrange… Est-ce que R est symétrique par rapport à tout réel au même titre qu'il est symétrique par rapport à 0 ? Je veux dire : est-ce que 0 a quand même un statut particulier qui justifierait que l'intégrale d'une fonction de -00 à +00 avec "ma définition" vaut 0 quand (0,0) est centre de symétrie de Cf, et pas forcément quand (a,0), a réel, est centre de symétrie ?

- Je crois que ce que tu demandes équivaut à : si l'intégrale de -00 à +00 de f avec "ma définition" existe et vaut toujours la même chose quelle que soit la place de Oy, alors est-ce que l'intégrale avec la définition "classique" existe ? J'ai essayé quelque chose en travaillant sur les primitives, mais on a vu peu de démo de ce type, où il faut jouer avec des quantificateurs, alors il se peut que ça ne soit pas rigoureux voire complètement faux. Je mets mes recherches à ce lien car je ne sais pas écrire en Latex : https://www.dropbox.com/s/17cypah9auyhj ... 1.jpg?dl=0
J'aurais donc tendance à dire que oui, ça implique que l'intégrale avec sa définition "classique" existe.

[Ben314]

Ben oui, R est effectivement "symétrique" par rapport à n'importe quel réel : la "symétrie par rapport à ", c'est la fonction x->2a-x et elle envoie évidement R sur R.
Les "statut particulier" de 0, c'est d'être élément neutre de l'addition (A+0=A) et d'être élément absorbant de la multiplication (0xA=0), mais face à des truc comme les notions de translation ou de symétrie sur l'axe réel, il n'a aucun statut particulier et comme ce qu'on demande de "naturel" à une intégrale, c'est d'être stable par translation/symétrie, le 0 de l'axe des x n'a effectivement aucun rôle particulier (alors que le 0 des y en a un vu que l'intégrale correspond à la surface sous la courbe et au dessus de la droite d'équation y=0)

Sinon, concernant la question de la fin du post précédent, la réponse est non.
Si on prend par exemple alors, on peut montrer que, pour tout réel , on a mais par contre .