Intégrale impropre

[marawita1]

Bonjour,

J'ai une petite question concernant les intégrales impropres.

On considère .
Je dois montrer que .

Le premier problème ici est en fait la fonction n'est pas définie sur et le théorème classique pour les intégrales impropres (dans le cas où les deux bornes sont "impropres") n'est pas applicable ici mais je pense qu'il existe une généralisation de ce théorème c'est à dire lorsque n'est pas définie qu'en un nombre fini des points.
L'autre problème : on a un théorème qui dit si est définie et localement intégrable sur
(. Si est impaire, alors
converge si et seulement si converge et en cas de convergence, on a .

Comment je peux appliquer ce dernier théorème dans mon cas.

[jlb]

Salut, tu montres que l'intégrale existe en traitant les problèmes en 0 et +inf.

[marawita1]

Oui l'intégrale existe bien sur .

Ma question est comment appliquer le théorème que j'ai donné: ici la fonction n'est pas définie sur tout

[pascal16]

si on considère que f n'est pas définie en 0, I s'écrit alors :


tu démontres l'existence des deux morceaux (exp(-2x) dominant)

tu poses pour A positif
tu sors le signe, tu trouves que ça vaut 0
et

Variante, tu poses pour, est continue et impaire sur R entier et a même intégrale que f

[marawita1]

si on considère que f n'est pas définie en 0, I s'écrit alors :

Franchement c'est la première fois que je vois cette notation dans les intégrales impropres!!

Que voulez vous dire par (par exemple)

Variante, tu poses pour, est continue et impaire sur R entier et a même intégrale que f

Je préfère cette réponse. Mais pourquoi l'intégrale de est égale à la intégrale de .

Et je pense que le résultat est vrai aussi si et se différent en un nombre fini des points

[pascal16]

je viens de l'inventer, et c'est pas bien, mais je vois pas ce qui te bloques
tu poses pour A positif

le nombre 'fini' de point, c'est un seul point et de plus f y est prolongeable par continuité, bornée, tout ce que tu veux.

Prend-le dans l'autre sens : modifier la valeur en 1 point d'une fonction ne change pas son intégrale.

[marawita1]

C'est juste une pensée, mais vraiment je ne savais pas la réponse!!!
Revenons à mon cas, franchement je ne vois pas pourquoi l'intégrale de est égale à la intégrale de , même avec l'invention de la fonction .

Est ce que j'ai le droit d'écrire ???
Si oui, quel théorème avez vous utilisé? (n'oubliez pas que n'est pas définie en 0)

[pascal16]

soit f une fonction quelconque :
secundo a,b,c des réels
Chasles + on peut mettre x ou y en variable.

si la limite existe :
sinon, l'intégrale est divergente, grossièrement si la limite tend vers l'infini, divergente tout court sinon.

par extension, existe si la limite comme présentée ci-dessus en +oo et la limite en -oo existent.



pour ta fonction en 0 : fais un DL, tu verras que ta fonction est équivalente à x +o(x) en 0. elle y est donc prolongeable par continuité en 0 en prenant f(0)=0. Écrite sous une autre forme, la fonction en tant que fonction Riemann-intégrable ne pose aucun problème en 0.

[pascal16]

pour ce qui est de la valeur de f en 0.
Oui, c'est bien un bug d'énoncé. La valeur de f en 0 aurait du être donnée.
En fait tu peux prendre n'importe quelle valeur de f en 0, ça ne change pas l'intégrale, et pas la valeur de I. Le prolongement par continuité permet de lever les problèmes d'un coup.

[marawita1]

Merci bien pour vos réponses.

Je sais que la fonction n'a aucun problème en et en 0.

Juste mon problème est comment appliquer un théorème dans ce cas.

Je vais procéder autrement: je découpe mon intégrale en 4 intégrales: , , et .
Après je vais étudier la convergence de ces 4 intégrales, mais comme est impaire sur , il suffit de montrer juste la convergence de . C'est la cas et donc je déduis que

, puisque f est impaire sur cette domaine.
Et de même je montre que .

Et par suite .

Quel est votre avis? C'est correct?

[pascal16]

oui, c'est bon

[marawita1]

Mon objectif était d’utiliser le théorème que j'ai donné (si f est définie et localement intégrable sur
(]-a, a[. Si f est impaire, alors ...)
Ok merci très bien Pascal