Integrale impropre - distance

[Azuriel]

Bonjour.
Alors voila j'ai un exo qui ressemble beaucoup à un probleme de distance.

Le voici. soit p entier, montrer que inf{Int(de 0 à +linfini) (x^p-ax-b)²exp(-x)dx, (a,b) réels} existe et est atteinte.

Comment faire ? Merci d'avance

[Azuriel]

Ah ouai c'est ce que je me disais, mais donc cela voudrait dire que je prendrais le produit scalaire l'integrale de (0 à +linfi)(P(X)*Q(X) avec un exp(-t) dans l'integrale comme produit scalaire ? Il faut donc que je montre que c'est bien un PS.

Ensuite si j'ai bien compris c'est la projection de des poly de de degré p sur l'ensemble des poly de degré 1 ? et pour cela je fais quoi ensuite ?

[Azuriel]

L'existence est l'unicité de la projection c'est le fait que je projette sur un espace de dim finie non ?
Pour l'evaluation de l'inf en lui meme il faut que je fasse comment ?

il faut que je cherche a et b tel que x-p(x) (p projection sur les polynome de degré 1) soit le plus petit possible ? Mais comment je fais concretement ici ?

[ThSQ]

c'est un exo d'algèbre.

L'existence peut (mais clairement c'est pas l'esprit) aussi se faire avec de la topologie en remarquant que f(a,b) -> +oo si a ou b -> +oo donc on peut se restreindre à (a,b) dans un carré et utiliser la continuité dans un compact.

[Azuriel]

En fait je pense pas qu'on me demande de la calculer cette distance, mais de montrer que l'inf existe et est atteint alors je voulais savoir, si j'ai montrer que j'avais bien mon produit scalaire sur R[X], est ce que je peux dire que puisque ax+b est de dim finie alors il existe un inf qui est atteint ou ça doit etre autre chose, un autre argument ? Merci d'avance !

Car par exemple on me demande la meme question avec cette fois (a,b) relié par la relation a²+3b²=1, qu'elle difference cela fait ?

[Azuriel]

Vous n'avez aucune idée alors ?