Integrale exp(-x^2) -inf, +inf ???

[camacho13]

auriez vous la methode pour integrer cette integrale qui est assez classique.
Mais malheureusement je ne me souviens plus ....


Merci pour votre aide

[quinto]

Bonjour,
il suffit de calculer l'intégrale
et de faire un changement de variable pour passer en polaire, et tu utilises le théorème de Fubini.
Je ne me souviens pas vraiment des détails, mais l'idée est là.
A+

[Chimerade]

Bonjour,
il suffit de calculer l'intégrale
et de faire un changement de variable pour passer en polaire, et tu utilises le théorème de Fubini.
Je ne me souviens pas vraiment des détails, mais l'idée est là.
A+

Oui, je crois que je me souviens des détails :

On cherche
Alors
Soit :


En faisant le changement de variable x,y ---> r,t : x=r cos(t) y=r*sin(t) on tombe sur :







Cette dernière intégration est immédiate :





Finalement

Enfin, je crois bien que c'était ça... J'espère que je ne me suis pas trompé d'un facteur !

[Alpha]

Salut,

Cette intégrale est très classique : elle peut se calculer à l'aide de l'intégrale de Wallis, qui est l'intégrale In de [sin(t)]^n entre 0 et pi/2. Il faut d'abord trouver des relations entre In et I(n+2), ensuite grâce à des encadrements, on trouve que In converge vers une certaine valeur pour n tendant vers + l'infini.

Ensuite, on encadre e^(-x²/2) par des fonctions dont je ne me souviens malheureusement plus, et l'on se ramène, par un changement de variable, à l'intégrale In.

Comme tu le vois, je ne me souviens que vaguement de ce problème, mais en cherchant sur Google "Intégrale de Wallis" et "e^(-x²/2)", tu devrais trouver des énoncés qui proposent la démarche que j'ai vaguement exposée.

Si ma mémoire est bonne, à la fin, on trouve (racine de pi)/2 pour l'intégrale de 0 à l'infini, donc par parité de -l'inf à +l'inf c'est racine de pi.

;)