Intégrale double

[wilfred1995]

Bonjour à tous
1- calculer l'intégrale double
Où

2- a) énoncer la formule d'Ostrogradski.
b) soit une sphère de centre et de rayon
En utilisant la question 2-a) calculer le flux du champ vectoriel au travers de orienté vers l'extérieur.

[Ben314]

Salut,
Pour la 1), as-tu trouvé une paramétrisation de ta surface ?
(on peut éventuellement faire un dessin que est très simple à réaliser modulo d'avoir mis le sous forme canonique)

PS : à condition que la définition de soit et pas

[wilfred1995]

1- je suis passe en coordonnées polaire j'aimerai savoir si mes bornes sont claires
et pour me parait difficile
2-
Quant au 2-b) appliquez la formule me paraît difficile

[wilfred1995]

1- je suis passe en coordonnées polaire j'aimerai savoir si mes bornes sont claires
et pour me parait difficile
2-
Quant au 2-b) appliquez la formule me paraît difficile

[wilfred1995]

Salut,
Pour la 1), as-tu trouvé une paramétrisation de ta surface ?
(on peut éventuellement faire un dessin que est très simple à réaliser modulo d'avoir mis le sous forme canonique)

PS : à condition que la définition de soit et pas

C'est c'est moi qui ait fait l'erreur!!

[wilfred1995]

Salut,
Pour la 1), as-tu trouvé une paramétrisation de ta surface ?
(on peut éventuellement faire un dessin que est très simple à réaliser modulo d'avoir mis le sous forme canonique)

PS : à condition que la définition de soit et pas

C'est donc la paramétrisation qui me rend dingue.
J'essaye en mettant sous la forme canonique comme tu l'as dit!!

[Ben314]

Non, c'est pas bon :
Si et avec et alors
en supposant que (l'énoncé, encore mal foutu, ne dit rien concernant "qui" est ...)

Donc tout se résume à qu'on peut par exemple paramétrer avec (pour que ) puis .

Sinon, ça , mis sous forme canonique, ça donne ça qui correspond au disque fermé de centre (a,0) et de rayon a.
Et l'autre équation correspond à l'extèrieur (fermé) du disque de centre (0,0) et de rayon a ce qui permet de parfaitement visualiser le domaine en question.

[wilfred1995]

Sinon, ça , mis sous forme canonique, ça donne ça qui correspond au disque fermé de centre (a,0) et de rayon a.
Et l'autre équation correspond à l'extèrieur (fermé) du disque de centre (0,0) et de rayon a ce qui permet de parfaitement visualiser le domaine en question.

Ceci c'est sans passer par les coordonnées polaires ? ?

[Ben314]

Ceci c'est sans passer par les coordonnées polaires ? ?

Oui, ça n'a pas vraiment de rapport avec les coordonnées polaires : ça permet juste de visualiser très précisément quel est le domaine en question ce qui permet ensuite d'avoir assez facilement des paramétrisation du domaine.

Par exemple, là, vu le dessin, une paramétrisation en coordonnées polaires centrées en (a,0) serait aussi envisageable. Sauf que, vu la tête de la fonction à intégrer, ça semble plus judicieux de centrer en (0,0).

Pour t’entraîner, tu peut quand même calculer l'intégrale avec les deux méthodes : en centrant en (a,0) c'est un peu plus long, mais ça reste raisonnable.

[wilfred1995]

Une vérification s'il te plaît :
En passant par les coordonnées polaires j'ai trouvé

[Ben314]

Je trouve (enfin... Maple trouve...) plutôt ça :
Qui est est bien la même chose que toi.

[wilfred1995]

Ok merci j'essaye maintenant directement pour essayer de trouver la même réponse !!
Et pour le flux comment passer à 3 coordonnées alors qu'on a deux au 1-)

[Ben314]

Et pour le flux comment passer à 3 coordonnées alors qu'on a deux au 1-)

Ben... la question 2)a), elle est évidement pas là que "pour faire joli".
Donc, elle dit quoi la fameuse "formule d'Ostrogradski" ?

[wilfred1995]

Ben... la question 2)a), elle est évidement pas là que "pour faire joli".
Donc, elle dit quoi la fameuse "formule d'Ostrogradski" ?

Voilà :

Et souvent c'est déterminer le qui cause problème.

[Ben314]

Oui, sauf que là, la surface S, c'est une sphère et de déterminer un vecteur normal (orienté vers l’extérieur) en un point d'une sphère, c'est pas bien compliqué, non ?

[wilfred1995]

Oui, sauf que là, la surface S, c'est une sphère et de déterminer un vecteur normal (orienté vers l’extérieur) en un point d'une sphère, c'est pas bien compliqué, non ?

C'est faire le schéma qui me menace le plus!!

[wilfred1995]

Je n'ai pas eu besoin de calculer car j'ai utiliser la divergence. Mais pour les bornes c'est un peu compliquer j'ai trouvé

[wilfred1995]

Les bornes de x, y et z on procède comment s'il te plaît ? ?

[Ben314]

Si tu veut paramétrer en cartésien (i.e. en x,y,z) la boule (et pas la sphère) de centre (a,b,c) et de rayon R alors tu cherche les x,y,z tels que x^2+y^2+z^2R^2 et, clairement,
(1) pour x,y connu, z varie de -racine(R^2-x^2-y^2) à +racine(R^2-x^2-y^2)
(2) pour x connu, y varie de -racine(R^2-x^2) à +racine(R^2-x^2)
(3) x varie de a-R à +R,

M'enfin, bon, pour paramétrer une boule, ça semblerais plus logique de passer en coordonnées sphériques (centrées au centre de la boule), mais c'est vrai que vu la fonction à intégrer, c'est pas sûr que ce soit forcément judicieux (c'est le problème de la plupart des intégrales multiples : pour paramétrer au mieux, il faut tenir compte de la forme du domaine ET de la tête du truc qu'on intègre).

[wilfred1995]

Bonsoir donc les bornes sont ainsi:
[tex]- \sqrt{\R^2-y^2-x^2} \leq z \leq \sqrt{\R^2-y^2-x^2[/tex]
[tex]-\sqrt{\R^2-x^2} \leq y \leq \sqrt{\R^2-x^2}[/tex]
[tex]-R\leq x\leq R[/tex]