Je n'arrive à comprendre la différence entre ces 2 intégrales doubles. Dans la première, on précise f(x,y)=x et dans la deuxième f(x,y)=y.
où
----
où
J'ai déjà calculé la première mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la deuxième.
Merci
Intégrale double
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Intégrale double
par em925 » 22 Aoû 2017, 13:38
Bonjour,
Je n'arrive à comprendre la différence entre ces 2 intégrales doubles. Dans la première, on précise f(x,y)=x et dans la deuxième f(x,y)=y.
d_{D})
où=x\ \ et\ \ D =\left\{ (x,y) \in R^{2};\ \ \ y\geq0,\ \ x\geq0,\ \ x-y+1\geq0,\ \ x+2y-4\leq0 \right\})
----
où=y\ \ et\ \ D =\left\{ (x,y) \in R^{2};\ \ \ y\geq0,\ \ x\geq0,\ \ x-y+1\geq0,\ \ x+2y-4\leq0 \right\})
J'ai déjà calculé la première mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la deuxième.
 + \left( \int_{\frac{2}{3}}^{4} \int_{0}^{\frac{-x}{2}+2} x\ dy \ dx \right))
Merci
Je n'arrive à comprendre la différence entre ces 2 intégrales doubles. Dans la première, on précise f(x,y)=x et dans la deuxième f(x,y)=y.
où
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où
J'ai déjà calculé la première mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la deuxième.
Merci
Re: Intégrale double
par MJoe » 22 Aoû 2017, 15:57
Bonjour,
Un conseil : il faut commencer pas dessiner le domaine D afin d'être sûr des bornes en
et en 
. Voici le domaine D (en vert) : où  \in R^{2};\ \ \ y\geq0,\ \ x\geq-1,\ \ x-y+1\geq0,\ \ x+2y-4\leq0 \right\})
Pour la première intégrale :dx.dy)
où=x\ \ et\ \ D =\left\{ (x,y) \in R^{2};\ \ \ y\geq0,\ \ x\geq-1,\ \ x-y+1\geq0,\ \ x+2y-4\leq0 \right\})
dx.dy=\left(\int_{x=-1}^{x=\frac{2}{3}}(x \int_{y=0}^{y=x+1} dy )\ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} x(\int_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2} dy )\ dx \right))
dx.dy=\left(\int_{x=-1}^{x=\frac{2}{3}}x(x+1) \ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} x(\frac{-x}{2}+2 )\ dx \right))
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
Pour la deuxième intégrale :
où=y\ \ et\ \ D =\left\{ (x,y) \in R^{2};\ \ \ y\geq0,\ \ x\geq-1,\ \ x-y+1\geq0,\ \ x+2y-4\leq0 \right\})
dx.dy=\left(\int_{x=-1}^{x=\frac{2}{3}}( \int_{y=0}^{y=x+1}y \ dy )\ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} (\int_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2} y \ dy )\ dx \right))
dx.dy=\left(\int_{x=-1}^{x=\frac{2}{3}}\frac{1}{2}(x+1)^{2} \ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} \frac{1}{2}(\frac{-x}{2}+2 )^{2}\ dx \right))
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
MJoe.
Un conseil : il faut commencer pas dessiner le domaine D afin d'être sûr des bornes en
Pour la première intégrale :
où
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
Pour la deuxième intégrale :
où
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
MJoe.
Modifié en dernier par MJoe le 24 Aoû 2017, 09:09, modifié 6 fois.
Re: Intégrale double
par em925 » 22 Aoû 2017, 16:35
Bonjour Mjoe,
Tout d'abord, un grand merci pour cette réponse détaillée.
J'aurai deux autres questions par rapport à votre réponse :
1. Dois-je permuter dx et dy dans la 2e intégrale que vous avez notée :
Remplacer
par
dx.dy=\left(\int_{x=-1}^{x=\frac{2}{3}}( \int_{y=0}^{y=x+1}y \ dx )\ dy \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} (\int_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2} y \ dx )\ dy \right))
2. Dois-je remplacer la borne x=-1 (dans les 2 intégrales) par 0 car dans le domaine j'ai :
Le graphique :
Tout d'abord, un grand merci pour cette réponse détaillée.
J'aurai deux autres questions par rapport à votre réponse :
1. Dois-je permuter dx et dy dans la 2e intégrale que vous avez notée :
Remplacer
par
2. Dois-je remplacer la borne x=-1 (dans les 2 intégrales) par 0 car dans le domaine j'ai :
Le graphique :
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Re: Intégrale double
par MJoe » 22 Aoû 2017, 16:38
em925 a écrit:Bonjour Mjoe,
Tout d'abord, un grand merci pour cette réponse détaillée.
J'aurai deux autres questions par rapport à votre réponse :
1. Dois-je permuter dx et dy dans la 2e intégrale que vous avez notée :
Remplacer
par
2. Dois-je remplacer la borne x=-1 (dans les 2 intégrales) par 0 car dans le domaine j'ai :
Le graphique :
Oh, je n'ai pas bien lu les bornes pour
MJoe.
Re: Intégrale double
par MJoe » 22 Aoû 2017, 16:44
Bonjour,
Je recommence donc avec un nouveau domaine D afin d'être sûr des bornes en et en . Voici le domaine D (en vert) : où  \in R^{2};\ \ \ y\geq0,\ \ x\geq0,\ \ x-y+1\geq0,\ \ x+2y-4\leq0 \right\})
Pour la première intégrale :
où
dx.dy=\left(\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}(x \int_{y=0}^{y=x+1} dy )\ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} x(\int_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2} dy )\ dx \right))
dx.dy=\left(\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}x(x+1) \ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} x(\frac{-x}{2}+2 )\ dx \right))
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
Pour la deuxième intégrale :
où
dx.dy=\left(\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}( \int_{y=0}^{y=x+1}y \ dy )\ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} (\int_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2} y \ dy )\ dx \right))
dx.dy=\left(\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}\frac{1}{2}(x+1)^{2} \ dx \right) + \left( \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4} \frac{1}{2}(\frac{-x}{2}+2 )^{2}\ dx \right))
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
MJoe.
Je recommence donc avec un nouveau domaine D afin d'être sûr des bornes en
Pour la première intégrale :
où
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
Pour la deuxième intégrale :
où
On se retrouve donc avec une somme de deux intégrales simples. Je vous laisse terminer le calcul.
MJoe.
Modifié en dernier par MJoe le 22 Aoû 2017, 18:16, modifié 4 fois.
Re: Intégrale double
par MJoe » 22 Aoû 2017, 16:47
em925 a écrit:Bonjour Mjoe,
Tout d'abord, un grand merci pour cette réponse détaillée.
J'aurai deux autres questions par rapport à votre réponse :
1. Dois-je permuter dx et dy dans la 2e intégrale que vous avez notée :
Remplacer
par
2. Dois-je remplacer la borne x=-1 (dans les 2 intégrales) par 0 car dans le domaine j'ai :
Le graphique :
Pour la question 1 :
On ne permute rien, on commence par intégrer en
Pour la question 2 :
Oui, j'ai écrit un nouveau post car je n'avais pas vu que
Un petit conseil pratique : Je recommande toujours de bien écrire les variables dans les bornes des intégrales. Je préfère écrire
Voici le détail du calcul d'une des intégrales :
Je pense qu'on limite les erreurs de calcul en indiquant bien dans les bornes le nom de la variable qui "varie". Enfin bon ce n'est qu'un conseil.
MJoe.
Re: Intégrale double
par em925 » 25 Aoû 2017, 13:28
Votre conseil est très utile, cela me permet de voir les variables plus rapidement.
J'ai tout calculé mais le résultat obtenu pour l'intégrale D) n'est pas le même que ma calculatrice. Auriez-vous une idée où est-ce que je fais une erreur ?
\ \int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}( \int_{y=0}^{y=x+1}x \ dy )\ dx=\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}\left(\left[ xy\right]_{y=0}^{y=x+1} \right)\ dx=\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}(x^2+x) \ dx=\left[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{x=2/3}=\frac{8}{81}+\frac{4}{18}=\frac{26}{81})
\ \int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4}( \int_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2}x \ dy )\ dx=\int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4}\left(\left[ xy\right]_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2} \right)\ dx=\int_{x=\frac{2}{3}}^{x=4}(\frac{-x^2}{2}+2x) \ dx=\left[ \frac{-x^3}{6}+x^2\right]_{x=\frac{2}{3}}^{x=4}=\frac{16}{3}-\frac{32}{81}=\frac{400}{81})
\ \int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}( \int_{y=0}^{y=x+1}y \ dy )\ dx=\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}\left(\left[ \frac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=x+1} \right)\ dx=\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}\frac{(x+1)^{2}}{2} \ dx=\left[ \frac{(x+1)^{3}}{6}\right]_{x=0}^{x=2/3}=\frac{125}{162}-\frac{1}{6}=\frac{49}{81})
\ \int_{x=\frac{2}{3}}}^{x=4} ( \int_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2}}y \ dy )\ dx=\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}\left(\left[ \frac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=\frac{-x}{2}+2}} \right)\ dx=\int_{x=0}^{x=\frac{2}{3}}(\frac{(\frac{-x}{2}+2)^2}{2}) \ dx=\left[ \frac{(\frac{-x}{2}+2)^3}{6}\right]_{x=0}^{x=2/3}=0-\frac{125}{162}=-\frac{125}{162}<br />\\)
J'ai tout calculé mais le résultat obtenu pour l'intégrale D) n'est pas le même que ma calculatrice. Auriez-vous une idée où est-ce que je fais une erreur ?
- math.jpg (12.07 Kio) Vu 1136 fois
Re: Intégrale double
par zygomatique » 25 Aoû 2017, 15:34
salut
dx.dy = \int_{x = 0}^{x = \frac 2 3} x(x+1) \ dx + \int_{x = \frac 2 3}^{x = 4} x(\dfrac {-x} 2 + 2 )\ dx = \dfrac 1 2 \int_0^{2/3} (2x^2 + 2x)dx + \dfrac 1 8 \int_{2/3}^4 (16x - 4x^2)dx)
dx.dy = \int_{x = 0}^{x = \frac 2 3} \dfrac 1 2 (x + 1)^2 \ dx + \int_{x = \frac 2 3}^{x = 4} \dfrac 1 2 (\dfrac {-x} 2 + 2 )^2 \ dx =\dfrac 1 2 \int_0^{2/3} (x^2 + 2x + 1)dx + \dfrac 1 8 \int_{2/3}^4 (x^2 - 8x +<br /> 16)dx)
dx - \dfrac 1 8 \int_{2/3}^4 (5x^2 - 24x + 16)dx)
soit f une fonction strictement monotone sur l'intervalle [a, b] ... quitte à considérer -f on suppose f croissante
on note g sa bijection réciproque
l'aire sous la courbe de f sur l'intervalle [a, b] estdx = \int_a^b ydx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)dy = \int_{f(a)}^{f(b)} xdy)
soit f une fonction strictement monotone sur l'intervalle [a, b] ... quitte à considérer -f on suppose f croissante
on note g sa bijection réciproque
l'aire sous la courbe de f sur l'intervalle [a, b] est
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
Re: Intégrale double
par MJoe » 25 Aoû 2017, 17:24
em925 a écrit:Votre conseil est très utile, cela me permet de voir les variables plus rapidement.
J'ai tout calculé mais le résultat obtenu pour l'intégrale D) n'est pas le même que ma calculatrice. Auriez-vous une idée où est-ce que je fais une erreur ?
Bonjour,
Tant mieux si mon conseil peut vous éviter de faire des erreurs sur ce type d'intégrale.
Au sujet de l'intégrale D), il y a un problème au niveau des bornes : vous avez considéré des bornes différentes de celles de votre calculatrice. Il y a également une erreur sur la primitive (le coefficient "- 2" a été oublié (car la dérivée de -x/2 donne -1/2)).
Voici le calcul refait :
MJoe
Re: Intégrale double
par MJoe » 28 Aoû 2017, 15:34
Bonjour,
Si vous avez d'autres intégrales doubles à calculer, n'hésitez pas !
MJoe.
Si vous avez d'autres intégrales doubles à calculer, n'hésitez pas !
MJoe.
Re: Intégrale double
par em925 » 30 Aoû 2017, 13:10
Bonjour,
J'ai un autre exercice où je bloque après le changement en coordonnées polaires, pourriez-vous m'aider pour l"intégrale de la fin :
Calculer
où \in R^{2};\ \ \ 0\leq x\leq1 ,\ \ 0\leq y\leq1,\ \ 0\leq x^2+y^2\leq1 \right\})
------------
}}}r.dr.d\theta \ = \ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+r^2}}}r.dr.d\theta \ =\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{1}{\frac{r}{r^2+1}}.dr.d\theta)
}{2})
}{2})
}{2}}.d\theta \ = \ \left[ \frac{ln(2).\theta }{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ = \ \frac{ln(2)\pi}{4})
J'ai un autre exercice où je bloque après le changement en coordonnées polaires, pourriez-vous m'aider pour l"intégrale de la fin :
Calculer
où
------------
Modifié en dernier par em925 le 30 Aoû 2017, 14:12, modifié 5 fois.
Re: Intégrale double
par MJoe » 30 Aoû 2017, 17:03
Bonjour à tous,
Ok, une petite intégrale à calculer, super !
Il faut effectivement effectuer un changement de variables et utiliser les coordonnées polaires. Comme toujours, il ne faudra pas oublier la valeur absolue du Jacobien de ce changement de variables.
On commence par représenter le domaine D :
}}}.|J(r,\theta)|.dr.d\theta=\int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{2}}{\int_{r=0}^{r=1}{\frac{1}{1+r^2(cos^2\theta+sin^2\theta)}}}.r.dr.d\theta)
.d\theta)
({\int_{r=0}^{r=1}{\frac{r}{r^2+1}}.dr))
\right]_{r=0}^{r=1})
}{4})
Nota :
Définition du Jacobien d'un changement de variables :
Plus de détails sur les intégrales multiples et les changements de variables.
MJoe.
Ok, une petite intégrale à calculer, super !
Il faut effectivement effectuer un changement de variables et utiliser les coordonnées polaires. Comme toujours, il ne faudra pas oublier la valeur absolue du Jacobien de ce changement de variables.
On commence par représenter le domaine D :
Nota :
Définition du Jacobien d'un changement de variables :
Plus de détails sur les intégrales multiples et les changements de variables.
MJoe.
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