Intégrale et démonstration

[ArtyB]

Bonjour à vous,

Voilà plusieurs jours que j'échoue à démontrer la chose suivante:



Sachant que j'ai auparavant réussi à démontrer par récurrence que:


Je suppose qu'il faut faire une démonstration par récurrence, en supposant la proposition vraie au rang et p et en la démontrant pour le rang p+1, mais je dois avouer avoir passé un peu de temps dessus, à essayer changements de variables et intégrations par parties, mais cela en vain.
Si l'un de vous a des conseils je suis preneur !

EDIT: Suite de l'exercice:
a)Montrer que la fonction qui, à tout réel positif u, associe

est intégrable et décroissante sur [1;+oo[, et en déduire, pour tout u > 1, et tout entier
naturel n :


b) Montrer que:


c) On donne la valeur de l'intégrale de Gauss:


A l'aide du théorème de convergence dominée, montrer que :


d) Retrouver alors la formule de Stirling:

[aymanemaysae]

Vous avez raison! Tout au moins pour la deuxième intégrale:
1) Pour n=0 , on a : Intégrale{0 à +infini}(exp(-t) dt) = 1 = 0! .
2) Supposez que pour un n appartenant à IN, la proposition : Intégrale{0 à +infini}(t^n exp(-t) dt) = n! est vraie, et voyez si c'est vérifié pour le rang n+1. Pour cela prenez:
Intégrale{0 à +infini}(t^(n+1) exp(-t) dt) et intégrez par parties.

[aymanemaysae]

Pour la première intégrale, c'est aussi une récurrence:
1) pour n = 1, on a:
Intégrale{(de -1 à +infini) (1+t) exp(-t) dt} = - Intégrale{(de -1 à +infini) (1+t) (exp(-t))' dt}
= e = (e/1)^1 * 1! : ceci par intégration par parties.
2) Veuillez supposer maintenant que la proposition:
Intégrale{(de -n à +infini) (1+t/n)^n exp(-t) dt} = (e/n)^n * n! est vérifiée pour n appartenant à IN*, et montrez qu'elle est vérifiée pour n+1.
Pour ceci, veuillez suivre les étapes suivantes:
a) D'abord, considérez l'intégrale suivante,
Intégrale{(de -(n+1) à +infini) (1+t/(n+1))^(n+1) exp(-t) dt}
= - Intégrale{(de -(n+1) à +infini) (1+t/(n+1))^(n+1) (exp(-t))' dt}
= - [(1+t/(n+1))^(n+1) exp(-t)](entre -(n+1) et +infini) + Intégrale{(de -(n+1) à +infini) (1+t/(n+1))^n exp(-t) dt}
= Intégrale{(de -(n+1) à +infini) (1+t/(n+1))^n exp(-t) dt} .
Pour vous laisser l'honneur de conclure, j'attire votre attention qu'il ne reste plus qu'à opérer un changement de variable (u = t + 1) pour faire apparaître:
Intégrale{(de -n à +infini) (1+u/n)^n exp(-u) du} et un facteur multiplicatif : e * (n/(n+1))^n, qui vous permettront de conclure.
Pour toutes autres questions, je serai toujours là.

[ArtyB]

Bonjour,

Merci de votre réponse, j'avais la même chose jusqu'au changement de variable. Mais je ne vois pas comment vous arrivez au résultat demandé avec votre changement de variable. J'avais exactement la même chose mais était coincé au niveau du changement de variable.

Voilà ce que j'ai:


Qui par le changement de variable u=t+1 devient

Et après je suis un peu perdu...

[aymanemaysae]

[ArtyB]

Ah oui en effet ça a du sens ! Au temps pour moi, je ne voyais pas comment sortir le p/(p+1). Un grand merci à vous !

[ArtyB]

Et après, en ayant démontré que est intégrable et décroissante sur , si je veux démontrer que pour tout entier naturel n on a:


Il est facile de démontrer la positivité des membres de l'inéquation, mais je ne sais pas si je dois procéder par récurrence concernant la seconde inégalité, une piste ?

Voici ce que j'ai pour le moment:

On vérifie que la proposition est vraie pour le rang n=1
On la suppose vraie pour le rang p et on la démontre pour le rang p+1:

[Matt_01]

Ben sauf erreur, en simplifiant comme il faut, l'inégalité est équivalente à exp(1-u)<2 :
On simplifie par (1+u)^n, on multiplie par exp(u), on passe à la racine n-1 et on obtient le résultat.

[pianojo]

On pouvait réutiliser le 1er résultat pour éviter un 2e raisonnement par récurrence : le changement de variable t=n(y+1) donne n!=intégrale(-1 à +inf)( (n(y+1))^n * e^-(n(y+1) )* n * dy. En multipliant gauche et droite par (e/n)^n, on obtient à droite intégrale(-1 à +inf) ( (ny)^n * e^-(ny) * ndy ), et un 2e changement de variable z=ny donne l'intégrale cherchée de -n à +inf.

[pianojo]

Intuitivement, les 2 intégrales se ressemblaient et on voulait que le t^n se change en (1+t/n)^n, c'est-à-dire que t se change 1+t/n. C'est exactement ce que font les 2 changements de variables proposés. J'ai utilisé le nom de variable z pour la 2e intégrale au lieu de t, pour éviter la confusion avec le 1er changement de variable.

[ArtyB]

@Matt, je ne crois pas que cela marche. J'ai essayé mais on n'obtient pas le résultat.

@pianojo, en effet c'était presque plus simple et plus court du coup, je n'avais pas vu ce changement de variable.

[Kolis]

On peut faire les deux par récurrence !
Pour la première ne pas toucher au et trouver, en intégrant par parties, une relation entre et .
est la valeur cherchée !

[ArtyB]

@Kolis de quelle démonstration parles tu ? Pour l'inégalité ?

[Kolis]

@Kolis de quelle démonstration parles tu ? Pour l'inégalité ?

Non : je répondais au premier énoncé !
A-t-on idée de mettre des énoncés par petits bouts ?

Quand on aura répondu il y aura une autre question ?

[ArtyB]

Au temps pour moi, je ne voulais pas trop charger dès le début. C'est possible qu'il y en est d'autres oui, si j'échoue à répondre aux questions suivantes.
Du coup j'ai re-modifié mon message de départ comme ça vous pouvez apprécier l'énoncé en entier.