Démonstration intégrale d'une fonction continue et paire

par **Marguerite2521** » 02 Sep 2015, 16:01

Soit f une fonction continue et paire sur R

a

R,

-a à a f(t) dt = 2

0 à a f(t)

J'ai réussi a démontré cet énoncé par changement de variable mais je suis bloqué dans la deuxième méthode de démonstration.

Voilà comment j'ai commencé:
Considérons

: a

R

-a à a f(t) dt - 2

0 à a f(t) dt
f étant continue sur R, f admet une primitive F sur R
Notons F une primitive de f sur R

(a) = F(a) - F(-a) - 2 (F(a)- F(0))
Comme différence et composée de fonctions dérivables,

est dérivable sur R
et

a

R,

'(a) = F'(a) - F'(-a) - 2 F'(a)
Je suis bloquée ici, a-t-on le droit d'écrire que F'(-a) = - F'(a), la suite de la preuve serait alors évidente

Merci de votre aide !

par **jlb** » 02 Sep 2015, 16:07

Salut, une aide: c'est quoi F'? tu as presque fini!!!

( il y a une erreur de signe dans ta dérivée (F(-a))'=)

par **Marguerite2521** » 02 Sep 2015, 16:24

F' = f
ce qui donnerait

'(a) = f(a) - f(-a) - 2 f(a) = - f(a) - f(-a)

par **jlb** » 02 Sep 2015, 16:27

Marguerite2521 a écrit:F' = f
ce qui donnerait '(a) = f(a) - f(-a) - 2 f(a) = - f(a) - f(-a)

oui, mais il y a une erreur dans

'(a)!!! recalcule (F(-a))', tu as oublié un signe - qlq part et du coup tu vas trouver

'(a)=-f(a) + f(-a) =0 puisque f est paire)
Et tu conclus que

est une fonction constante ( dérivée nulle) avec pour valeur

(0)=..., je te laisse finir.

par **mathelot** » 02 Sep 2015, 16:41

si f est continue et paire sur un intervalle centré en 0 , elle admet une infinité de primitives.
Parmi ces primitives, une seule est impaire, la primitive qui s'annule en 0,
que l'on note

par **Marguerite2521** » 02 Sep 2015, 16:47

jlb a écrit:oui, mais il y a une erreur dans '(a)!!! recalcule (F(-a))', tu as oublié un signe - qlq part et du coup tu vas trouver '(a)=-f(a) + f(-a) =0 puisque f est paire)
Et tu conclus que est une fonction constante ( dérivée nulle) avec pour valeur (0)=..., je te laisse finir.

'(a)= F'(a) - (F(-a))' - 2F'(a)
= f(a) + f(-a) - 2 f(a)
Comme f est périodique, f(-a) = f(a), on a

'(a)= 0
Comme R est un intervalle,

est alors constante sur R
Par suite, pour tout a appartenant à R,

(a) =

(0) = 0

Je pense que cette fois-ci c'est juste
Merci de votre aide !

par **chan79** » 02 Sep 2015, 17:54

Marguerite2521 a écrit:Comme f est périodique, f(-a) = f(a), on a '(a)= 0

il faut mettre: "Comme f est paire ..."

par **zygomatique** » 02 Sep 2015, 18:30

salut

petit aparté ::

il faut mettre: "Comme f est paire ..."

j'interdis cette laideur grammaticale à l'écrit du moins ....

je préfère toujours (faire) écrire :: "f est paire donc ..."

pour apprendre les conjonctions de coordination d'une part et montrer proprement la conséquence d'une hypothèse ... très proche de l'implications ... et pour apprendre/travailler plus explicitement le raisonnement déductif ...

:lol3:

par **chan79** » 02 Sep 2015, 19:03

Je te trouve bien pinailleur pour pas grand'chose ...

Vu dans le Larousse:

Exprime la cause avant un verbe à l'indicatif qui précède la proposition
principale : Comme j'étais pressé, j'ai voyagé en avion.

par **zygomatique** » 02 Sep 2015, 19:18

certes oui dans un langage trivial ou oral (que j'utilise aussi) ...

mais quand on veut vraiment instruire, l'expression écrite qui est au programme des élèves est importante pour permettre l'articulation d'une pensée raisonnée ... et tout autant en math ....

et je pense qu'un excès de rigueur est préférable à ce laxisme et cette médiocrité intellectuelle qui conduit à donner le bac à des élèves qui ne savent pas écrire cinq lignes convenablement et sont incapables pour beaucoup de modéliser un problème élémentaire et le résoudre ....

par **Sylviel** » 02 Sep 2015, 19:37

J'abonde dans le sens de zygomatique : il est préférable d'écrire "donc" dans une copie de maths.

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