Integrale curviligne

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tilt77
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integrale curviligne

par tilt77 » 01 Mai 2010, 17:32

bonjour.
J'ai une difficulté à la 3 eme question d'un exercice:

soit d={(x,y)eR² (x-1)(x+2)+y²=0
P(x,y)= y^3 / (x²+y²)²
Q(x,y)= xy² / (x²+y²)²

je trouve dQ(x,y) /dx - dP(x,y)/dy =0
on peut grace au theoreme de green-riemann deduire lintegrale curviligne I
I=int P(x,y)dx +Q(x,y)dy=0
mais si on veut calculer directement I (3eme question)
comment fait on
j'ai essayer en remarquant que d est un cercle de centre (1/2,0)
de rayon =rac(5/2)
dy=-(2x+1) / 2rac(-x²-x+2)
mais je n aboutit a rien
merci pour toute reponse



Nightmare
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par Nightmare » 01 Mai 2010, 17:37

Salut,

tu peux paramétrer ton cercle par un système , ton intégrale vaut alors

:happy3:

tilt77
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par tilt77 » 01 Mai 2010, 17:47

j'ai ces parametres
x=rcosa-1/2
y=rsina avec r fixe
est ce bon?
car je n'arrive pas au bon resultat

tilt77
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par tilt77 » 01 Mai 2010, 19:57

je ne comprend pas la seule variable serait t
mais le cercle est defini par r son rayon et a variant de 0à 2pi

tilt77
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par tilt77 » 01 Mai 2010, 22:37

pour finir j'ai continuer dans ma demarche
avec dy=-(2x+1) / 2rac(-x²-x+2)dx et en posant y=rac(-x²-x+2)on arrive apres calcul :mur: et simplification à 2 double integrale suivant r et a(angle)
qui valent 0 c'est le resultat attendu

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Ben314
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par Ben314 » 02 Mai 2010, 01:08

Salut,
bon déjà le centre du cercle, c'est (-1/2,0) et son rayon c'est 3/2.
cela conduit naturellement à poser x(t)=... et y(t)=...
Enfin, vu que P et Q sont non définis au point (0,0) et que ton cercle "fait le tour" du point (0,0) eh ben tu peut pas appliqer directos Green-Riemann.

Indic : en fait ton intégrale vaut -pi/2
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

tilt77
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par tilt77 » 02 Mai 2010, 09:22

bonjour.
c'est bizare que moi je trouve zero:
je vais detailler pour voir si c'est bon ou pas
on a I=int y^3/(x²+y²)² dx + int xy²/(x²+y²)²dy
donc au bord on a y²=-x²-x+2
soit dy= -(2x+1)/2rac(-x²-x+2
donc I=
int (rac(-x²-x+2)*(-x²-x+2)) / (2-x)²dx +int (x(-x²-x+2)(2x+1)) /2(2-x²)²rac(-x²-x+2)dx
apres simplification on a j'ai verifié
I=int rac(-x²-x+2)(4-x) / 2(2-x)²dx
vu que 4-x=2+(2-x)
on a
I=int rac(-x²-x+2) / (2-x)² dx+ 1/2 int rac(-x²-x+2)/(2-x)dx
avec
y=rac(-x²-x+2)=rsina
x=rcosa-1/2
on a une double integrale
I=int rsina/(5/2-rcosa)² dadr +1/2*int rsina/(5/2-rcosa) dadr
vu que a varie de 0 à 2pi
la primitive de rsina/(5/2-rcosa)² est 1/(5/2-rcosa)
et la primitive de rsina/(5/2-rcosa) est ln(5/2-rcosa)
on a I = 0
ps
le rayon du cercle est bien rac(5/2)
y²+x²+x-2=0
y²+(x+1/2)²-1/4-2=0
y²+(x+1/2)²=9/4(apres corection) le rayon est 3/2

Doraki
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par Doraki » 02 Mai 2010, 10:44

le cercle c'est le cercle dont le segment formé par (-2,0) et (1,0) est un diamètre,
je vois pas comment son rayon peut être autre chose que 3/2.

Dans ton calcul du rayon, 1/2 * 1/2 ça fait pas 1/2.

tilt77
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par tilt77 » 02 Mai 2010, 11:15

je ne comprend pas pourquoi il devrait etre de 3/2
d'apres l'equation:
y²+(x+1/2)²=5/2
il devrait etre de rac (5/2)

tilt77
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par tilt77 » 02 Mai 2010, 11:18

tous a fait d'accord
je me suis rendu compte de mon erreur
mais pour l'integrale je ne voit pas ou est l'erreur

 

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